《2024届广州市高三4月模拟（一模）数学试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024届广州市高三4月模拟（一模）数学试题（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2024届广州市高三4月模拟（一模）数学试题注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知是偶函数，在上单调递减，则的解集是ABCD2将一块边长为的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下
2、，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为，则的值为（ ）A6B8C10D123集合中含有的元素个数为（ ）A4B6C8D124设分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点，若，则双曲线渐近线的斜率为（ ）ABCD5如图，设为内一点，且，则与的面积之比为ABCD6下列函数中，值域为的偶函数是（ ）ABCD7定义在上的奇函数满足，若，则（ ）AB0C1D28已知且，函数，若，则（ ）A2BCD9已知函数有两个不同的极值点，若不等式有解，则的取值范围是（ ）ABCD10在区间上随机
3、取一个数，使直线与圆相交的概率为（ ）ABCD11已知椭圆：的左、右焦点分别为，点，在椭圆上，其中，若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）ABCD12设复数满足，则在复平面内的对应点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13的展开式中项的系数为_14已知二面角l为60，在其内部取点A，在半平面，内分别取点B，C若点A到棱l的距离为1，则ABC的周长的最小值为_15已知等比数列的前项和为，且，则_.16已知，在方向上的投影为，则与的夹角为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）设（1）证明:当时，；
4、（2）当时，求整数的最大值.（参考数据：，）18（12分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于两点，求的值.19（12分）如图, 在四棱锥中, 底面是矩形, 四条侧棱长均相等.（1）求证：平面;（2）求证：平面平面.20（12分）已知，且（1）请给出的一组值，使得成立；（2）证明不等式恒成立21（12分）椭圆：（）的离心率为，它的四个顶点构成的四边形面积为.（1）求椭圆的方程；（2）设是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求证：直
5、线恒过一个定点.22（10分）设函数（1）当时，解不等式；（2）设，且当时，不等式有解，求实数的取值范围参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】先由是偶函数，得到关于直线对称；进而得出单调性，再分别讨论和，即可求出结果.【题目详解】因为是偶函数，所以关于直线对称；因此，由得；又在上单调递减，则在上单调递增；所以，当即时，由得，所以，解得；当即时，由得，所以，解得；因此，的解集是.【题目点拨】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.2、D【解题分析】推导
6、出，且，设中点为，则平面，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值【题目详解】解：如图（4），为该四棱锥的正视图，由图（3）可知，且，由为等腰直角三角形可知，设中点为，则平面，解得.故选：D【题目点拨】本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题.3、B【解题分析】解：因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B4、C【解题分析】如图所示：切点为，连接，作轴于，计算，根据勾股定理计算得到答案.【题目详解】如图所示：切点为，连接，作轴于，故，在中，故，故，根据勾股定理：，解得.故选：.【题目点拨】本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算
7、能力和综合应用能力.5、A【解题分析】作交于点，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出与的比例，再由与的比例，可得到结果.【题目详解】如图，作交于点，则，由题意，且，所以又，所以，即，所以本题答案为A.【题目点拨】本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键.6、C【解题分析】试题分析：A中，函数为偶函数，但，不满足条件；B中，函数为奇函数，不满足条件；C中，函数为偶函数且，满足条件；D中，函数为偶函数，但，不满足条件，故选C考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域7、C【解题分析】首先判断出是周期为的周期函数，由此求得所求表达式的值.【题目详解】由已知为
8、奇函数，得，而，所以，所以，即的周期为.由于，所以，.所以，又，所以.故选：C【题目点拨】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.8、C【解题分析】根据分段函数的解析式，知当时，且，由于，则，即可求出.【题目详解】由题意知：当时，且由于，则可知：，则，则，则.即.故选：C.【题目点拨】本题考查分段函数的应用，由分段函数解析式求自变量.9、C【解题分析】先求导得（），由于函数有两个不同的极值点，转化为方程有两个不相等的正实数根，根据，求出的取值范围，而有解，通过分裂参数法和构造新函数，通过利用导数研究单调性、最值，即可得出的取值范围.【题目详解】由题可得：（），因为函数有两个不同的极值点
9、，所以方程有两个不相等的正实数根，于是有解得.若不等式有解，所以因为.设，故在上单调递增，故，所以，所以的取值范围是.故选：C.【题目点拨】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.10、C【解题分析】根据直线与圆相交，可求出k的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率.【题目详解】因为圆心，半径，直线与圆相交，所以，解得 所以相交的概率,故选C.【题目点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.11、C【解题分析】根据可得四边形为矩形, 设,根据椭圆的定义以及勾股定理可得,再分析的取值范围,进而求
10、得再求离心率的范围即可.【题目详解】设,由,知,因为,在椭圆上,所以四边形为矩形,；由,可得,由椭圆的定义可得,平方相减可得,由得；令,令,所以,即,所以,所以,所以,解得.故选：C【题目点拨】本题主要考查了椭圆的定义运用以及构造齐次式求椭圆的离心率的问题,属于中档题.12、C【解题分析】化简得到，得到答案.【题目详解】，故，对应点在第三象限.故选：.【题目点拨】本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、40【解题分析】根据二项定理展开式，求得r的值，进而求得系数【题目详解】根据二项定理展开式的通项式得 所以 ，解得 所以系数
11、【题目点拨】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题14、【解题分析】作A关于平面和的对称点M，N，交和与D，E，连接MN，AM，AN，DE，根据对称性三角形ADC的周长为AB+AC+BCMB+BC+CN，当四点共线时长度最短，结合对称性和余弦定理求解.【题目详解】作A关于平面和的对称点M，N，交和与D，E，连接MN，AM，AN，DE，根据对称性三角形ABC的周长为AB+AC+BCMB+BC+CN，当M，B，C，N共线时，周长最小为MN设平面ADE交l于，O，连接OD，OE，显然ODl，OEl，DOE60，MOA+AON240,OA1，MON120，且OMONOA1，根据余弦定理，故MN21
12、+1211cos1203，故MN故答案为：【题目点拨】此题考查求空间三角形边长的最值，关键在于根据几何性质找出对称关系，结合解三角形知识求解.15、【解题分析】由题意知，继而利用等比数列的前项和为的公式代入求值即可.【题目详解】解：由题意知，所以.故答案为：.【题目点拨】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于中档题.16、【解题分析】由向量投影的定义可求得两向量夹角的余弦值，从而得角的大小【题目详解】在方向上的投影为，即夹角为.故答案为：【题目点拨】本题考查求向量的夹角，掌握向量投影的定义是解题关键三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2
13、）.【解题分析】（1）将代入函数解析式可得，构造函数，求得并令，由导函数符号判断函数单调性并求得最大值，由即可证明恒成立，即不等式得证.（2）对函数求导，变形后讨论当时的函数单调情况：当时，可知满足题意；将不等式化简后构造函数，利用导函数求得极值点与函数的单调性，从而求得最小值为，分别依次代入检验的符号，即可确定整数的最大值；当时不满足题意，因为求整数的最大值，所以时无需再讨论.【题目详解】（1）证明：当时代入可得，令，则，令解得，当时，所以在单调递增，当时，所以在单调递减，所以，则，即成立.（2）函数则，若时，当时，则在时单调递减，所以，即当时成立；所以此时需满足的整数解即可，将不等式化简可得，令 则令解得，当时，即在内单调递减，当时，即在内单调递增，所以当时取得最小值，则，所以此时满足的整数 的最大值为；当时，在时，此时，与题意矛盾，所以不成立.因为求整数的最大值，所以时无需再讨论，综上所述，当时，整数的最大值为.【题目点拨】本题考查了导数在证明不等式中的应用，导数与函数单调性、极值、最值的关系和应用，构造函数法求最值，并判断函数值法符号，综合性强，属于难题.18、（1）；（2）【解题分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.（2）利用（1）的
