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1、洛阳市20222023学年高二第一学期期末考试数学试卷(文)一、选择题:本大通共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 若直线经过点和,则直线l的倾斜角为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由斜率公式求出直线的斜率,利用倾斜角与斜率的关系求解.【详解】设直线的斜率为,且倾斜角为,则,则,而,故,故选:D.2. 已知数列,则6是这个数列的( )A. 第6项B. 第12项C. 第18项D. 第36项【答案】C【解析】【分析】利用数列的通项公式求解.【详解】数列的通项公式为,令解得,故选:C.3. 若双曲线的渐近线方程是,虚轴长为4,
2、且焦点在x轴上,则双曲线的标准方程为( )A. 或B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的性质求解.【详解】由题可得解得,所以双曲线的标准方程为.故选:C.4. 如图,线段AB,BD在平面内,且,则C,D两点间的距离为( )A. 19B. 17C. 15D. 13【答案】D【解析】【分析】根据线面垂直的性质定理结合勾股定理求解.【详解】连接,因为,所以,又因为,,所以,所以,故选:D.5. “”是“曲线表示椭圆”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据曲线表示椭圆,可求得t的范围,根据充分、必要条
3、件的定义,即可得答案.【详解】因为曲线为椭圆,所以,解得且,所以“”是“且”的必要而不充分条件.故选:B6. 设 R,向量= (),= ,=,且, ,则 | | =( )A. B. 3C. 3D. 9【答案】A【解析】【分析】根据空间向量平行垂直条件求出参数,再根据模长公式计算即可.【详解】,即,即,故选:A7. 如果实数满足,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】所求的取值范围等价于求同时经过点P和圆上的点的所有直线的斜率范围,结合图形根据直线与圆相切可求.【详解】令,即,所求的取值范围等价于求同时经过点P和圆上的点的所有直线的斜率范围,从图中可知,斜率取最大
4、值时对应的直线斜率为正且与圆相切,斜率取最小值时对应的直线斜率为负且与圆相切,则圆心到直线的距离,解得.故的取值范围为.故选:A8. 已知点为抛物线焦点,为抛物线上任意一点,则的最小值为( )A. 4B. 5C. D. 【答案】B【解析】【分析】将转化为点P到准线的距离,求最值.【详解】抛物线,准线方程为,设P到准线的距离为d,则,当直线AP与准线垂直时,等号成立.故选:B.9. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率为,且在每年年底卖出100头牛,牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列,即,则大约为( )(参考数据:)A. 1429B. 1472C. 1519D.
5、1571【答案】B【解析】【分析】由题意得数列递推公式,再用构造法求出通项,代入计算即可.【详解】由题可知,设,解得即,故数列是首项为,公比为1.1的等比数列.所以,则,所以.故选:B.10. 若,则的最小值为( )A. B. 2C. D. 4【答案】C【解析】【分析】根据均值不等式,可得,再利用不等式的基本性质,两边分别相加求解.【详解】因为,所以,因为,所以,所以,所以,所以两边分别相加得,当且仅当,即取等号,所以的最小值为.故选:C.11. 已知数列 满足=1,且(),则数列的前18项和为( )A. 54B. 3C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用数列的递推公式,结合累乘法,求得其
6、通项公式,根据三角函数的计算,求得数列的周期,整理数列的通项公式,利用并项求和,可得答案.【详解】由,则,即,显然,满足公式,即.当时,;当时,;当时,;当时,当时,;当时,;则数列是以为周期的数列,由,则,设数列的前项和为,故选:D.12. 已知双曲线的右焦点为,过点作直线与交于两点,若满足的直线有且仅有1条,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】求出双曲线的实轴长和通径长,由题意,过点的最短弦长为,从而求出,以及双曲线的离心率【详解】双曲线的实轴长为,通径长为由题意可得,过点的弦最短时,长为,解得,此时,则双曲线的离心率为故选:B二、填空题:本大题共4
7、小题,每小题5分,共20分13. 直线与直线之间的距离为_【答案】【解析】【分析】确定两直线是平行直线,故可根据平行线间的距离公式求得答案.【详解】直线可化为,则直线与直线平行,故直线与直线之间的距离为,故答案为:.14. 设、分别在正方体的棱、上,且,则直线与所成角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】以为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线与所成角的余弦值【详解】、分别在正方体的棱、上,且,如图以为坐标原点,建立空间直角坐标系,设,则,设直线与所成角为,则直线与所成角的余弦值故答案为:15. 已知,是椭圆:()的左,右焦点,A是椭圆的左顶点,点在过A且斜率为的直线上,为等腰三角
8、形,则椭圆的离心率为_.【答案】#0.5【解析】【分析】结合图像,得到,再在中,求得,从而得到,代入直线可得到,由此可求得椭圆的离心率.【详解】由题意知,直线的方程为:,由为等腰三角形,得,过作垂直于轴,如图,则在中,故,所以,即,代入直线,得,即,所以所求的椭圆离心率为.故答案为:.16. 首项为正数,公差不为0的等差数列,其前项和为,现有下列4个命题:若,则;若,则;若,则中最大;若,则使的的最大值为11其中所有真命题的序号是_【答案】【解析】【分析】由题意可以推出,不能推出,判断错误;由题意可得,判断出正确;由题意可得,判断出正确;由题意可得,进而,判断出正确【详解】若,则,不能推出,即
9、不能推出,故错误;若,则,即,则,故正确;若,则,所以,则中最大,故正确;若,则,即,因为首项为正数,则公差小于0,则,则,则使的的最大值为11,故正确故答案为:三、解答题:本大题共6个小题,共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知是数列的前项和,且,设(1)若是等比数列,求;(2)若是等差数列,求的前项和,【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由等比数列的通项公式的求法求解即可;(2)由等差数列的通项公式的求法,结合公式法求数列的前项和即可【小问1详解】解:已知是数列的前项和,且,则,又是等比数列,设公比为,则,即;【小问2详解】解:已知是等差数列,设公差为,又
10、,则,则,即,则,则,则,即的前项和18. 在平面直角坐标系中,已知圆M的圆心在直线上,且圆M与直线相切于点(1)求圆M的方程;(2)过的直线l被圆M截得的弦长为,求直线l的方程【答案】(1) (2)或【解析】【分析】(1)根据已知得出点与直线垂直的直线方程,根据圆切线的性质得出该直线过圆心,与已知过圆心方程联立即可得出圆心坐标,根据圆心到切线的距离得出圆的半径,即可得出圆的方程;(2)根据弦长得出点到直线l的距离,分类讨论直线l的斜率,设出方程,利用点到直线的距离列式,即可得出答案.【小问1详解】过点与直线垂直的直线方程为:,即 则直线过圆心,解得,即圆心为,则半径,则圆M的方程为:;【小问
11、2详解】过的直线l被圆M截得的弦长为,则点到直线l的距离,若直线l的斜率不存在,则方程为,此时圆心到直线l的距离为1,不符合题意;若直线l的斜率存在,设直线l的方程为:,则,解得,则直线l方程为:或.19. 如图, 和所在平面垂直,且(1)求证:;(2)若,求平面和平面的夹角的余弦值【答案】(1)见解析; (2).【解析】【分析】(1)取的中点,可得,根据可得,由线面垂直的判定定理及性质定理可证明;(2)作于点,以点为原点,所在直线分别为轴建立空间坐标系,求出两个平面的法向量即可求解.【小问1详解】取的中点,连接,因为,所以.因为为公共边,所以,所以,所以.因为平面,所以平面,因为平面,所以.
12、【小问2详解】当可设,作于点,连接,易证两两垂直,以点为原点,所在直线分别为轴建立空间坐标系,则,设平面的法向量为,,所以,令,可得,则.易知平面,所以平面的法向量为,设平面和平面的夹角为,则,故平面和平面的夹角的余弦值为.20. 已知直线与抛物线交于A,B两点(1)若,直线的斜率为1,且过抛物线C的焦点,求线段AB的长;(2)若交AB于,求p的值【答案】(1)8; (2).【解析】【分析】(1)焦点为,直线的方程为,联立直线与抛物线的方程,根据弦长公式即可求解;(2)设直线的方程为,根据题意可得,且在直线上,从而可得直线的方程为,联立直线与抛物线的方程,根据韦达定理可得,代入即可求解.【小问
13、1详解】若,则抛物线,焦点为,故直线的方程为.设,联立,消去,可得,故.故.【小问2详解】设直线的方程为,因为交AB于,所以,且,所以,直线的方程为.又在直线上,所以,解得.所以直线的方程为.由,消去,可得,则.因为,所以,即,解得.21. 已知等比数列的前项和为,且(1)求的通项公式;(2)若,求数列的前项和【答案】(1) (2)【解析】【小问1详解】,故,即,令,得到是等比数列,公比为3,且,【小问2详解】,两式相减,得,故22. 已知椭圆,离心率为,点在椭圆上(1)求椭圆的标准方程;(2)记为椭圆的左顶点,直线的斜率为1且过点,若直线与椭圆交于点(均不与重合),设直线的斜率分别是,求的值【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据题意求出,即可得解;(2)求出直线方程,设,利用韦达定理求得,再结合斜率公式计算整理即可得出答案.【小问1详解】由题设得,又,解得,所以椭圆的标准方程为;【小问2详解】由题意设直线,联立,消去得,故,所以故的值为