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1、单元质检三导数及其应用(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.如果一个物体的运动方程为s(t)=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在3 s末的瞬时速度是()A.7 m/sB.6 m/sC.5 m/sD.8 m/s2.若函数y=ex+mx有极值,则实数m的取值范围是()A.m0B.m1D.m1,f(0)=5,f(x)是f(x)的导函数,则不等式ex(f(x)-1)4(其中e为自然对数的底数)的解集为()A.(0,+)B.(-,0)(3,+)C.(-,0)(1,+)D.(3,+)8.设函数f(x)=exx+3x-3ax,若不等式f
2、(x)0有正实数解,则实数a的最小值为()A.3B.2C.e2D.e二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.(2018天津,文10)已知函数f(x)=exln x,f(x)为f(x)的导函数,则f(1)的值为.10.设曲线y=x+1x-1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a=.11.若f(x)=ae-x-ex为奇函数,则f(x-1)e-1e的解集为.12.已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在区间(-,+)内是减函数,则实数a的取值范围是.13.已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,abc,且f(a)=f(b)=f(c)=0,现给出如下结论:f(0)f(
3、1)0;f(0)f(3)0;f(0)f(3)0;f(1)f(3)0时,x2kx对任意的x(0,+)恒成立,求实数k的取值范围.20.(14分)设aZ,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.(1)求g(x)的单调区间;(2)设m1,x0)(x0,2,函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),求证:h(m)h(x0)0,若y=ex+mx有极值,则必须使y的值有正有负,故m0.3.B解析由题意知f(x)=-3x2+2ax-10在R上恒成立,故=(2a)2-4(-3)(-1)0,解得-3a3.4.A解析由f(x)
4、=2x+1-1x=2x2+x-1x=0,得x=12或x=-1(舍去).当0x12时,f(x)12时,f(x)0,f(x)单调递增,则f(x)的最小值为f12=34+ln20,所以f(x)无零点.5.D解析因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f(x)=3x2+1,得曲线f(x)在(0,0)处的切线斜率k=f(0)=1.故切线方程为y=x.6.B解析f(x)=-2f(1)312x-2x,f(1)=-13f(1)-2,解得f(1)=-32,f(x)=x-x2,f(x)=1-4xx2x.令f
5、(x)0,解得x344;令f(x)344,故f(x)在0,344内递增,在344,+内递减,故f(x)的最大值是f344,a=344.7.A解析令g(x)=ex(f(x)-1),则g(x)=ex(f(x)-1)+exf(x)=ex(f(x)+f(x)-1).因为f(x)+f(x)1,所以g(x)0.所以函数g(x)在R上单调递增.因为f(0)=5,所以g(0)=4.因为ex(f(x)-1)4,所以g(x)g(0),所以x0.故选A.8.D解析原问题等价于aex(x2-3x+3)在区间(0,+)内有解.令g(x)=ex(x2-3x+3),则ag(x)min,而g(x)=ex(x2-x).由g(x
6、)0,可得x1或x0;由g(x)0,可得0x1.所以函数g(x)在区间(0,+)内的最小值为g(1)=e.综上可得,实数a的最小值为e.9.e解析f(x)=exlnx,f(x)=exlnx+exx.f(1)=eln1+e1=e.10.-2解析因为y=x+1x-1的导数为y=-2(x-1)2,所以曲线在点(3,2)处的切线斜率k=-12.又因为直线ax+y+3=0的斜率为-a,所以-a-12=-1,解得a=-2.11.(0,+)解析f(x)在R上为奇函数,f(0)=0,即a-1=0.a=1.f(x)=e-x-ex,f(x)=-e-x-ex0.f(x)在R上单调递减.由f(x-1)-1,即x0.f
7、(x-1)e-1e的解集为(0,+).12.(-,-3解析由题意可知f(x)=3ax2+6x-10在R上恒成立,则a0,=62+43a0,解得a-3.故实数a的取值范围为(-,-3.13.解析f(x)=x3-6x2+9x-abc,f(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).当1x3时,f(x)0;当x3时,f(x)0.f(x)的单调递增区间为(-,1)和(3,+),单调递减区间为(1,3).f(x)极大值=f(1)=1-6+9-abc=4-abc,f(x)极小值=f(3)=27-54+27-abc=-abc.f(x)=0有三个解a,b,c,a1b30,且f(3)=-abc0.0abc
8、4.f(0)=-abc,f(0)0,f(0)f(1)0,f(1)f(3)0.14.-3或-2解析设切点坐标为(a,a3-3a).f(x)=x3-3x,f(x)=3x2-3,切线的斜率k=3a2-3,由点斜式可得切线方程为y-(a3-3a)=(3a2-3)(x-a).切线过点A(1,m),m-(a3-3a)=(3a2-3)(1-a),即2a3-3a2=-3-m.过点A(1,m)可作曲线y=f(x)的两条切线,关于a的方程2a3-3a2=-3-m有两个不同的根.令g(x)=2x3-3x2,g(x)=6x2-6x.令g(x)=0,解得x=0或x=1,当x0;当0x1时,g(x)1时,g(x)0,g(
9、x)在(-,0)内单调递增,在(0,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增,当x=0时,g(x)取得极大值g(0)=0,当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=-1.关于a的方程2a3-3a2=-3-m有两个不同的根,等价于y=g(x)与y=-3-m的图象有两个不同的交点,-3-m=-1或-3-m=0,解得m=-3或m=-2,实数m的值是-3或-2.15.解(1)因为(x-2x-1)=1-12x-1,(e-x)=-e-x,所以f(x)=1-12x-1e-x-(x-2x-1)e-x=(1-x)(2x-1-2)e-x2x-1x12.(2)由f(x)=(1-x)(2x-1-2)e-x2x-1=0,解
10、得x=1或x=52.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x1212,111,525252,+f(x)-0+0-f(x)12e-12012e-52又f(x)=12(2x-1-1)2e-x0,所以f(x)在区间12,+内的取值范围是0,12e-12.16.(1)解当a=3时,f(x)=13x3-3x2-3x-3,f(x)=x2-6x-3.令f(x)=0,解得x=3-23或x=3+23.当x(-,3-23)(3+23,+)时,f(x)0;当x(3-23,3+23)时,f(x)0,所以f(x)=0等价于x3x2+x+1-3a=0.设g(x)=x3x2+x+1-3a,则g(x)=x2(x2+2x+3)(x2+x+1)20,仅当x=0时g(x)=0,所以g(x)在(-,+)内单调递增,故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a2+2a-13=-6a-162160,f
