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1、江苏省南通如皋市2023年高二数学第一学期期末综合测试模拟试题考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1函数的值域为（）A.B.C.D.2某研究所计划建设n个实验室，从第1实验室到第n实验室的建设费用依次构成等差数列，已知第7实验室比第2实验室的建设费用多15
2、万元，第3实验室和第6实验室的建设费用共为61万元.现在总共有建设费用438万元，则该研究所最多可以建设的实验室个数是（）A.10B.11C.12D.133已知椭圆上一点到左焦点的距离为，是的中点，则（ ）A.1B.2C.3D.44将点的极坐标化成直角坐标是()A.B.C.D.5已知集合，则中元素的个数为（ ）A.3B.2C.1D.06魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在九章算术方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“”代表无限次重复，设，则可以利用方程求得，类似地可得到正数（
3、）A.2B.3C.D.7某地为应对极端天气抢险救灾，需调用A，B两种卡车，其中A型卡车x辆，B型卡车y辆，以备不时之需，若x和y满足约束条件则最多需调用卡车的数量为（ ）A.7B.9C.13D.148已知函数，的导函数，的图象如图所示，则的极值情况为（）A.2个极大值，1个极小值B.1个极大值，1个极小值C.1个极大值，2个极小值D.1个极大值，无极小值9宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的，分别为3，1，则输出的等于A.5B.4C.3D.210已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，
4、则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则11已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率A.B.C.D.12抛物线的准线方程是A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知数列满足，则其通项公式_14在2021件产品中有10件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是_.15已知椭圆 ()中，成等比数列，则椭圆的离心率为 _.16已知空间向量， 则向量在坐标平面上的投影向量是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程
5、或演算步骤。17（12分）已知椭圆C：过两点（1）求C的方程；（2）定点M坐标为，过C右焦点的直线与C交于P，Q两点，判断是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由18（12分）在平面直角坐标系中，点到两点的距离之和等于4，设点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）设直线与交于两点，为何值时？19（12分）已知椭圆的右焦点为F(，0)，且点M(，)在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，过原点O作l的垂线，垂足为P，若，求的值.20（12分）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是（1）求抛物线的
6、标准方程；（2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程21（12分）设二次函数.（1）若是函数的两个零点，且最小值为.求证：；当且仅当a在什么范围内时，函数在区间上存在最小值?（2）若任意实数t，在闭区间上总存在两实数m，n，使得成立，求实数a的取值范围.22（10分）已知数列满足，记数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前100项和参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据基本不等式即可求出【详解】因为，当且仅当时取等号，所以函数的值域为故选：C2、C【解析】根据等差
7、数列通项公式，列出方程组，求出的值，进而求出令根据题意令，即可求解.【详解】设第n实验室的建设费用为万元，其中，则为等差数列，设公差为d，则由题意可得，解得，则.令，即，解得，又，所以，所以最多可以建设12个实验室.故选：C.3、A【解析】由椭圆的定义得，进而根据中位线定理得.【详解】解：由椭圆方程得，即，因为由椭圆的定义得，所以，因为是的中点，是的中点，所以.故选：A4、A【解析】本题考查极坐标与直角坐标互化由点M的极坐标，知极坐标与直角坐标的关系为，所以的直角坐标为即故正确答案为A5、B【解析】集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示
8、直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点，则中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.6、A【解析】设，则，解方程可得结果.【详解】设，则且，所以，所以，所以，所以或（舍）.所以.故选：A【点睛】关键点点睛：设是解题关键.7、B【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解【详解】设调用卡车的数量为z，则，其中x和y满足约束条件，作出可行域如图所示
9、：当目标函数经过时，纵截距最大，最大.故选：B8、B【解析】根据图象判断的正负，再根据极值的定义分析判断即可【详解】由，得，令，由图可知的三个根即为与的交点的横坐标，当时，当时，即，所以为的极大值点，为的极大值，当时，即，所以为的极小值点，为的极小值，故选：B9、B【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】解：当n1时，a3，b2，满足进行循环的条件，当n2时，a，b4，满足进行循环的条件，当n3时，a，b8，满足进行循环的条件，当n4时，a，b16，不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，
10、故选：B【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答10、C【解析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，逐一核对四个选项得答案【详解】解：对于A：若，则或，故A错误；对于B：若，则或与相交，故B错误；对于C：若，根据面面垂直的判定定理可得，故C正确；对于D：若则与平行、相交、或异面，故D错误；故选：C11、C【解析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件；“甲解答不正确”为事件，利用二项分布的知识计算出，再计算出，结合条件概率公式求得结果.【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件；“甲解答不正确”为事件则；本题正确选项：【点睛】
11、本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.12、C【解析】根据抛物线的概念，可得准线方程为二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】构造法可得，由等比数列的定义写出的通项公式，进而可得.【详解】令，则，又，故，而，是公比为，首项为，则，.故答案为：.14、【解析】设抽到的次品的个数为，则，求出对应的概率即得解.【详解】解：设抽到的次品的个数为，则，所以所以抽到次品个数的数学期望的值是故答案为：15、【解析】根据成等比数列，可得，再根据的关系可得，然后结合的自身范围解方程即可求出【详解】成等比数列，又，故答案为：【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的计算以
12、及等比数列定义的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题16、【解析】根据投影向量的知识求得正确答案.【详解】空间向量在坐标平面上的投影向量是.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）； （2）为定值.【解析】（1）根据题意，列出的方程组，求解即可；（2）对直线的斜率是否存在进行讨论，当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，转化，求解即可.【小问1详解】因为椭圆过两点，故可得，解得，故椭圆方程为：.【小问2详解】由（1）可得：，故椭圆的右焦点的坐标为；当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为：，代入椭圆方程，可得，不妨取，又，
13、故.当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立椭圆方程，可得：，设坐标为，故可得，则.综上所述，为定值.【点睛】本题考察椭圆方程的求解，以及椭圆中的定值问题；处理问题的关键是合理的利用韦达定理，将目标式进行转化，属中档题.18、（1）；（2）.【解析】（1）由题意可得：点的轨迹为椭圆，设标准方程为：，则，解出可得椭圆的标准方程（2）设，直线方程与椭圆联立，化为：，恒成立，由，可得，把根与系数的关系代入解得【详解】解：（1）由题意可得：点的轨迹为椭圆，设标准方程为：，则，可得椭圆的标准方程为：（2）设，联立，化为：，恒成立，解得满足当时，能使【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相
14、交弦长问题、数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题19、（1）（2）【解析】（1）求得，的值即可确定椭圆方程；（2）分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况即可确定为定值【小问1详解】由题意知：根据椭圆的定义得：，即，所以椭圆的标准方程为【小问2详解】当直线的斜率不存在时，的方程是此时，所以当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由可得显然，则，因为，所以所以，此时综上所述，为定值20、（1）；（2）【解析】（1）根据抛物线的定义，结合到焦点、轴的距离求，写出抛物线方程.（2）直线的斜率不存在易得与不垂直与题设矛盾，设直线方程联立抛物线方程，应用韦达定理求，进而求，由题设向量垂直的坐标表示有求直线方程即可.【详解】（1）由己知，可设抛物线的方程为，又到焦点的距离是1，点到准线的距离是1，又到轴的距离是，解得，则抛物线方程是（2）假设直线的斜率不存在，则直线的方程为，与联立可得交点、的坐标分别为，易得，可知直线与直线不垂直，不满足题意，故假设不成立，直线的斜率存在设直线
