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1、河南省新乡市新誉佳高级中学2023-2024学年高二数学第一学期期末质量检测试题请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1如图，在三棱柱中，平面，分别是，中点，在线段上，则与平面的位置关系是（）A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.要依点的位置而定2南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，
2、他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第7项为（）A.101B.99C.95D.913设等差数列的前n项和为若，则（）A.19B.21C.23D.384已知是双曲线的左焦点，为右顶点，是双曲线上的点，轴，若，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.5设，则有（）A.B.C.D.6正方体中，E、F分别是与的中点，则直线ED与所成角的余弦值是（）A.B.C.D.7已知等差数列的前n项和为，公差，若（，），
3、则（ ）A.2023B.2022C.2021D.20208镜花缘是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为A.B.C.D.9已知等差数列为其前项和，且，且，则（ ）A.36B.117C.D.1310用数学归纳法证明“”时，由假设证明时，不等式左边需增加的项数为（）A.B.C.D.11为了防控新冠病毒肺炎疫情，某市疾控中心检测人员对外来入市人员进行核酸检测，人员甲、乙均被检测.设
4、命题为“甲核酸检测结果为阴性”，命题为“乙核酸检测结果为阴性”，则命题“至少有一位人员核酸检测结果不是阴性”可表示为（ ）A.B.C.D.12某几何体的三视图如图所示，则其对应的几何体是A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13经过点，圆心在x轴正半轴上，半径为5的圆的方程为_14设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为_.15双曲线的离心率为，则它的一个焦点到一条渐近线的距离为_16已知椭圆交轴于A，两点，点是椭圆上异于A，的任意一点，直线，分别交轴于点，则为定值现将双曲线与椭圆类比得到一个真命题：若双曲线交轴于A，
5、两点，点是双曲线上异于A，的任意一点，直线，分别交轴于点，则为定值_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知，C是圆B：（B是圆心）上一动点，线段AC的垂直平分线交BC于点P（1）求动点P的轨迹的方程；（2）设E，F为与x轴的两交点，Q是直线上动点，直线QE，QF分别交于M，N两点，求证：直线MN过定点18（12分）为了了解高二段1000名学生一周课外活动情况，随机抽取了若干学生的一周课外活动时间，时间全部介于10分钟与110分钟之间，将课外活动时间按如下方式分成五组：第一组，第二组，第五组按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前3
6、个组的频率之比为3819，且第二组的频数为8（1）求第一组数据的频率并计算调查中随机抽取了多少名学生的一周课外活动时间；（2）求这组数据的平均数19（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，求函数在内的零点个数.20（12分）若双曲线1(a0，b0)的焦点坐标分别为和，且该双曲线经过点P(3，1)（1）求双曲线的方程；（2）若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率21（12分）已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点.（1）若直线的斜率为1，求；（2）若，求直线的方程.22（10分）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若
7、，.（1）求与平面所成角的大小；（2）在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（3）若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】构造三角形,先证平面,同理得平面,再证平面平面即可.【详解】连接，.因为在直三棱柱中，M，N分别是，AB的中点，所以.因为平面内，平面，所以平面.同理可得AM平面. 又因为，平面，平面，所以平面平面.又因为P点在线段上，所以平面.故选：B.2、C【解析】根据所给数列找到规律：两次后项减前项所得数
8、列为公差为2的数列，进而反向确定原数列的第7项.【详解】根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：故选：C.3、A【解析】由已知及等差数列的通项公式得到公差d，再利用前n项和公式计算即可.【详解】设等差数列的公差为d，由已知，得，解得，所以.故选：A4、C【解析】根据条件可得与，进而可得，的关系，可得解.【详解】由已知得，设点，由轴，则，代入双曲线方程可得，即，又，所以，即，整理可得，故，解得或（舍），故选：C.5、A【解析】利用作差法计算与比较大小即可求解.【详解】因为，所以，所以，故选：A.6、A【解析】以A
9、为原点建立空间直角坐标系，求出E,F,D,D1点的坐标，利用向量求法求解【详解】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则，,，,直线与所成角的余弦值为：.故选:A【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，属于基础题.7、C【解析】根据题意令可得，结合等差数列前n项和公式写出，进而得到关于的方程，解方程即可.【详解】因为，令，得，又，所以，有，解得.故选：C8、B【解析】设大灯下缀2个小灯为个，大灯下缀4个小灯有个，根据题意求得，再由古典概型及其概率的公式，即可求解【详解】设大灯下缀2个小灯为个，大灯下缀4个小灯有个，根据题意可得，解得，则灯球的总数为个，故这个灯球是大灯下缀4个小
10、灯的概率为，故选B【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中根据题意列出方程组，求得两种灯球的数量是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题9、B【解析】根据等差数列下标的性质，进而根据条件求出，然后结合等差数列的求和公式和下标性质求得答案.【详解】由题意，即为递增数列，所以，又，又，联立方程组解得：.于是，.故选：B.10、C【解析】当成立，写出左侧的表达式，当时，写出对应的关系式，观察计算即可【详解】从到成立时，左边增加的项为，因此增加的项数是，故选：C11、D【解析】表示出和，直接判断即可.【详解】命题为“甲核酸检测结果为阴性”，则命题为“甲核酸检测结果不是阴性”；
11、命题为“乙核酸检测结果为阴性”，则命题为“乙核酸检测结果不是阴性”.故命题“至少有一位人员核酸检测结果不是阴性”可表示为.故选D.12、A【解析】根据三视图即可还原几何体.【详解】根据三视图，特别注意到三视图中对角线的位置关系，容易判断A正确.【点睛】本题主要考查了三视图，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设圆方程为，代入原点计算得到答案.【详解】设圆方程为 经过点，代入圆方程 则圆方程为故答案为【点睛】本题考查了圆方程的计算，设出圆方程是解题的关键.14、#2.25#【解析】求出直线的方程，与抛物线方程联立后得到两根之和，结合焦点弦弦长公式求出，用点到
12、直线距离公式求高，进而求出三角形面积.【详解】易知抛物线中，焦点，直线的斜率，故直线的方程为，代人抛物线方程，整理得.设，则，由抛物线的定义可得弦长，原点到直线的距离，所以面积.故答案为：15、【解析】根据双曲线离心率为，可得的值，进而可得双曲线焦点到一条渐近线的距离.【详解】由双曲线离心率为，得，即，故双曲线方程为，焦点坐标为，渐近线方程为：，故焦点到渐近线的距离为，故答案为：.16、【解析】由双曲线的方程可得，的坐标，设的坐标，代入双曲线的方程可得的横纵坐标的关系，求出直线，的方程，令，分别求出，的纵坐标，求出的表达式，整理可得为定值【详解】由双曲线的方程可得，设，则，可得，直线的方程为：
13、，令，则，可得，直线的方程为，令，可得，即，故答案为：另解：双曲线方程化为，只是将的替换为，故答案也是只需将中的替换为即可.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1） （2）证明见解析【解析】（1）根据，利用椭圆的定义求解； （2）（解法1）设，得到 ，的方程，与椭圆方程联立，求得M，N的坐标，写出直线的方程求解； （解法2）上同解法1，由对称性分析知动直线MN所过定点一定在x轴上，设所求定点为，由C，D，T三点共线，然后由求解；（解法3）设，由，设：，：，其中，与椭圆方程联立，整理得，由F，M，N三点的横坐标为该方程的三个根，得到：求解.【小问1详
14、解】解：由题知，则，由椭圆的定义知动点P的轨迹为以A，B为焦点，6为长轴长的椭圆，所以轨迹的方程为【小问2详解】（解法1）易知E，F为椭圆的长轴两端点，不妨设，设，则，于是：，：，联立得，解得或，易得，同理当，即时，：；当时，有，于是： ，即综上直线MN过定点（解法2）上同解法1，得，由对称性分析知动直线MN所过定点一定在x轴上，设所求定点为，由C，D，T三点共线，得，即，于是，整理得，由t的任意性知，即，所以直线MN过定点（解法3）设，则，当时，直线MN即为x轴；当时，因为，所以，则，设：，：，其中，联立，得 ，整理得，易知F，M，N三点的横坐标为该方程的三个根，所以：，由及的任意性，知直线MN过定点18、（1）0.06，50名（2）64（分钟）【解析】（1）利用频率和为1可求解频率，再利用频率，频数，总数之间的关系可求解学生人数；（2）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的中点乘以对应的长方形面积之和；【小问1详解】设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x，19x依题意，得所以所以第一组数据的频率为，设调查中随机抽取了n名学生的课外活动时间，则，得，所以调查中
