《2024届福建省福州市鼓楼区数学高二上期末考试模拟试题含解析》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2024届福建省福州市鼓楼区数学高二上期末考试模拟试题含解析(13页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2024届福建省福州市鼓楼区数学高二上期末考试模拟试题注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1如图,若斜边长为的等腰直角(与重合)是水平放置的的直观图,则的面积为( )A.2B.C.D.82丹麦数学家琴生(Jensen)是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人,特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.
2、设函数在上的导函数为,在上的导函数为,在上恒成立,则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是()A.B.C.D.3如果,那么直线不经过的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4已知双曲线,则双曲线的渐近线方程为()A.B.C.D.5在中,B=30,BC=2,AB=,则边AC的长等于( )A.B.1C.D.26已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是,则点到另一个焦点的距离为()A.2B.3C.4D.57若,(),则,的大小关系是A.B.C.D.,的大小由的取值确定8为了了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为50的样本,则分段的间隔为()A
3、.20B.25C.40D.509过椭圆的左焦点作弦,则最短弦的长为()A.B.2C.D.410已知命题p:,则()A.,B.,C.,D.,11函数极小值为()A.B.C.D.12加斯帕尔蒙日(图1)是1819世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”(图2)则椭圆的蒙日圆的半径为()A.3B.4C.5D.6二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13若椭圆的一个焦点为,则p的值为_14若和或都是假命题,则的范围是_15等差数列,的前项和分别为,且,则_.16已知点,则外接圆的圆心坐标为_三
4、、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)如图是一抛物线型机械模具的示意图,该模具是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴,已知顶点深度4cm,口径长为12cm(1)以顶点为坐标原点建立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的标准方程;(2)为满足生产的要求,需将磨具的顶点深度减少1cm,求此时该磨具的口径长18(12分)如图,矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线在x轴上方的曲线上,求矩形面积最大时的边长.19(12分)已知抛物线上一点到其焦点F的距离为2.(1)求拋物线方程;(2)直线与拋物线相交于两点,求的长.20(12分)已知数列满足且(1)求证:数列
5、为等差数列,并求数列的通项公式;(2)设,求数列的前n项和为.21(12分)如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD为矩形,AB=2,平面,E是SA的中点(1)求直线EF与平面SCD所成角的正弦值;(2)在直线SC上是否存在点M,使得平面MEF平面SCD?若存在,求出点M的位置;若不存在,请说明理由22(10分)已知等差数列的前项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)证明:数列的前项和.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由斜二测还原图形计算即可求得结果.【详解】在斜二测直观图中, 由为等腰直角三角形,可
6、得,.还原原图形如图:则,则.故选:C2、B【解析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出【详解】对A,当时,所以A错误;对B,在上恒成立,所以B正确;对C,所以C错误;对D,因为,所以D错误故选:B3、A【解析】将直线化为,结合已知条件即可判断不经过的象限.【详解】由题设,直线可写成,又,故直线过二、三、四象限,不过第一象限.故选:A.4、A【解析】求出、的值,可得出双曲线的渐近线方程.【详解】在双曲线中,因此,该双曲线的渐近线方程为.故选:A.5、B【解析】利用余弦定理即得【详解】由余弦定理,得,解得AC=1故选:B.6、C【解析】根据椭圆的定义,结合题意,即可求得结果.【详解】设椭圆的两个
7、焦点分别为,故可得,又到椭圆一个焦点的距离是,故点到另一个焦点的距离为.故选:.7、A【解析】 且 ,又,故选A.8、A【解析】根据系统抽样定义可求得结果【详解】分段的间隔为故选:A9、A【解析】求出椭圆的通径,即可得到结果【详解】过椭圆的左焦点作弦,则最短弦的长为椭圆的通径:故选:A10、C【解析】由全称命题的否定:将任意改存在并否定结论,即可写出原命题p的否定.【详解】由全称命题的否定为特称命题,是“,”.故选:C.11、A【解析】利用导数分析函数的单调性,可求得该函数的极小值.【详解】对函数求导得,令,可得或,列表如下:减极小值增极大值减所以,函数的极小值为.故选:A.12、A【解析】由
8、蒙日圆的定义,确定出圆上的一点即可求出圆的半径.【详解】由蒙日圆的定义,可知椭圆的两条切线的交点在圆上,所以,故选:A二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、3【解析】利用椭圆标准方程概念求解【详解】因为焦点为,所以焦点在y轴上,所以故答案:314、【解析】先由和或都是假命题,求出x的范围,取交集即可.【详解】若为假命题,则有或若或是假命题,则所以的范围是即的范围是胡答案:15、【解析】取,代入计算得到答案.【详解】,当时故答案为【点睛】本题考查了前项和和通项的关系,取是解题的关键.16、【解析】求得的垂直平分线的方程,在求得垂直平分线的交点,则问题得解.【详解】线段中点坐标为,
9、线段斜率为,所以线段垂直平分线的斜率为,故线段的垂直平分线方程为,即.线段中点坐标为,线段斜率为,所以线段垂直平分线的斜率为,故线段的垂直平分线方程为,即.由.所以外接圆的圆心坐标为.故答案为:.【点睛】本题考查直线方程的求解,直线交点坐标的求解,属综合基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1) (2)cm【解析】(1)设抛物线的标准方程为,由题意可得抛物线过点,将此点代入方程中可求出的值,从而可得抛物线方程,(2)设此时的口径长为,则抛物线过点,代入抛物线方程可求出的值,从而可求得答案【小问1详解】由题意,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的标准方
10、程为,因为顶点深度4,口径长为12,所以该抛物线过点,所以,得,所以抛物线方程为;【小问2详解】若将磨具的顶点深度减少,设此时的口径长为,则可得,得,所以此时该磨具的口径长18、当矩形面积最大时,矩形边AB长,BC长【解析】先设出点坐标,进而表示出矩形的面积,通过求导可求出其最大面积.【详解】设点,那么矩形面积,.令解得(负舍).所以S在(0,)上单调递增,在(,2)上单调递;.所以当时,S有最大值.此时答:当矩形面积最大时,矩形边AB长,BC长.19、(1)(2)【解析】(1)根据抛物线焦半径公式即可得解;(2)联立方程组求出交点坐标,即可得到弦长.【小问1详解】由题:抛物线上一点到其焦点F
11、的距离为2,即,所以抛物线方程:【小问2详解】联立直线和得,解得,20、(1)证明见解析,;(2).【解析】(1)对递推公式进行变形,结合等差数列的定义进行求解即可;(2)运用裂项相消法进行求解即可.【小问1详解】因为,且,所以即,所以数列是公差为2的等差数列.又,所以即;【小问2详解】由(1)得,所以.故.21、(1)(2)存在,M与S重合【解析】(1)分别取AB,BC中点M,N,易证两两互相垂直,以为正交基底,建立空间直角坐标系,先求得平面SCD的一个法向量,再由求解;(2)假设存在点M,使得平面MEF平面SCD,再求得平面MEF的一个法向量,然后由求解.小问1详解】解:分别取AB,BC中点M,N,则,又平面则两两互相垂直,以为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,所以,设平面SCD的一个法向量为,则,直线EF与平面SBC所成角的正弦值为.【小问2详解】假设存在点M,使得平面MEF平面SCD,设平面MEF的一个法向量,令,则,平面MEF平面SCD,存在点,此时M与S重合.22、(1) (2)证明见解析.【解析】(1)设等差数列的公差为,根据题意可得出关于、的方程组,解出这两个量的值,可得出数列的通项公式;(2)求得,利用裂项法可求得,即可证得原不等式成立.【小问1详解】解:设等差数列的公差为,则,解得,因此,.【小问2详解】证明:,因此,.故原不等式得证.