《2023-2024学年人教A版（2019）选择性必修一 第一章 空间向量与立体几何 单元测试卷(含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023-2024学年人教A版（2019）选择性必修一 第一章 空间向量与立体几何 单元测试卷(含答案)（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2023-2024学年人教A版（2019）选择性必修一 第一章 空间向量与立体几何 单元测试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1、若向量,且,则在方向上的投影向量是( )A.B.C.D.2、如图,空间四边形OABC中,点M在OA上,且,点N为BC中点,则等于( )A.B.C.D.3、已知,则下列结论正确的是( )A.B.C.D.4、正三棱锥的侧棱两两垂直,D,E分别为棱PA,BC的中点,则异面直线PC与DE所成角的余弦值为( )A.B.C.D.5、如图,平行六面体中,E为中点.设,用基底表示向量,则( )A.B.C.D.6、如图,二面角的大小为,四边形ABFE、CDEF都是边长为的正
2、方形,则B、D两点间的距离是( )A.B.C.D.7、已知四面体的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，且，则二面角的正切值为( )A.B.C.D.8、如图，在正方体中，E为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( )A.B.C.D.9、如图,矩形ABCD中,E为边AB的中点,将沿直线DE翻折成.在翻折过程中,直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为( )A.B.C.D.10、在三棱锥中，两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面的法向量可以是( )A.B.C.D.二、填空题11、在正方体中,E,F分别为棱AD,的中点,则异面直线与DF所成角的正弦值为_.12、如图，在三棱柱
3、中，点D，E分别在棱，上，且，则二面角的正切值为_.13、如图，在正方体中，O是的中点，点P在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是_.14、已知,若,则m的值为_.15、如图,在四棱锥中,四边形ABCD是矩形,平面ABCD,点Q是侧棱PD的中点,点M,N分别在边AB,BC上,当空间四边形PMND的周长最小时,点Q到平面PMN的距离为_.16、如图，在三棱柱中，D是的中点，_.三、解答题17、如图,在四棱锥中,是边长为2的正三角形,平面平面.（1）设平面平面,问：线段PB上是否存在一点E,使平面ADE?（2）平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值.18、如图,在四棱锥中,底面ABCD,四
4、边形ABCD是直角梯形,点E在棱PB上.(1)证明：平面平面PBC;(2)当时,求二面角的余弦值.参考答案1、答案：C解析：,解得,在方向上的投影向量为.故选：C.2、答案：B解析：由题意可得,.故选：B.3、答案：C解析：设,即,则,此方程组无解,故,不平行,故A错误;设,即,则,此方程组无解,故,不平行,故B错误;,则,故C正确;,则,不垂直,故D错误.故选:C.4、答案：D解析：设,以A为坐标原点,分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系.则,则.从而异面直线PC与DE所成角的余弦值为.故选D.5、答案：B解析：.故选：B.6、答案：C解析：因为四边形ABFE、CDEF都是边长为1
5、的正方形,则,又因为二面角的大小为,即,则,因为,由图易知,所以,.故选：C.7、答案：A解析：取的中点E，连接，为等边三角形，平面，又平面，由题意得，又，又，平面，平面，又平面，平面平面，易知，则，故为等腰直角三角形，综上，四面体的球心O为的中心，即点O是上靠近E的三等分点.以E为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则即令，则，又平面的一个法向量，二面角的余弦值为，二面角的正弦值为，故二面角的正切值为.8、答案：D解析：设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面
6、的一个法向量为，则，取，则，所以，所以，故直线与平面所成角的正弦值为.故选D.9、答案：A解析：分别取DE,DC的中点O,F,则点A的轨迹是以AF为直径的圆,以OA,OE为x,y轴,过O与平面AOE垂直的直线为z轴建立坐标系,则,平面ABCD的其中一个法向量为,由,设,则,记直线与平面ABCD所成角为,则,设,所以直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为,故选：A.10、答案：A解析：由题意，得，则，设平面的一个法向量是，则即令，则，所以，故选A.11、答案：解析：如图所示,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则,则,所以与DF所成角的正弦值为.故答案为:.12、答案：解析：因为，且，平面，
7、所以平面，所以向量为平面的一个法向量，分别以，所在直线为x轴，y轴，垂直于平面且过点C的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则令，则，所以.设二面角的大小为，易知为锐角，所以，因此，所以.13、答案：解析：以D为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则，所以，设，则，设平面的一个法向量为，则即令，则，所以，所以因为，所以，即，即，所以，所以，又，所以.14、答案：6解析：,即,解得.故答案为:6.15、答案：或解析：要使得空间四边形PMND周长最小,只需将平面PAB沿AB展开到与平面ABCD共面,延长D
8、C至,使得,于是点N在线段的垂直平分线上,所以,因为PD为定值,故当点P,M,N和共线时,空间四边形PMND的周长最小,易得,即得,即,所以,以A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,由题意可得,则,设是平面PMN的一个法向量,则.即得,令,得,所以点Q到平面PMN距离.故答案为:.16、答案：解析：因为，所以，又，所以，所以.17、答案：（1）存在E为PB的中点,使平面ADE（2）解析：（1）存在E为PB的中点,使平面ADE.分别取PB、PC的中点E、F,连接AE、EF、DF,四边形EFDA为平行四边形, ,AE平面,DF平面PAB,DF平面PAB
9、,平面PAB平面PCD,平面,平面,平面,l平面ADE.即线段PB上存在一点E,使l平面ADE.（2）分别取AB、CD中点O、M,连接PO、OM, ,平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCD,PO平面PAB,PO平面ABCD以O为原点,以OA,OP,OM分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设向量为平面PDC的一个法向量,则,取,得,又为平面PAB的一个法向量,设平面PAB与平面PCD的夹角为,平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为.18、答案：(1)证明见解析(2)解析：（1）因为底面ABCD,平面ABCD,所以.因为,所以.所以,所以.又因为,平面PBC,平面PBC,所
10、以平面PBC.又平面EAC,所以平面平面PBC.（2）解法一：以点C为原点,CB,CA,CP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,.设点E的坐标为,因为,所以,即,所以.所以,.设平面ACE的一个法向量为,则.所以,取,则,.所以平面ACE的一个法向量为.又因为平面PAC,所以平面PAC的一个法向量为.设平面PAC与平面ACE的夹角为,则.所以,平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为.解法二：取AB的中点G,连接CG,以点C为原点,CG,CD,CP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,.设点E的坐标为,因为,所以,即,所以.所以,.设平面ACE的一个法向量为,则.所以,取,则,.所以,平面ACE的一个法向量为.又因为平面PAC,所以平面PAC的一个法向量为.设平面PAC与平面ACE的夹角为,则.所以,平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为.
