《中考数学一轮复习专题19 相似三角形-知识点梳理讲义（原卷版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学一轮复习专题19 相似三角形-知识点梳理讲义（原卷版）（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题19 相似三角形1.了解相似图形和相似三角形的概念。2.掌握三角形相似的判定方法和性质并学会运用。一、相似图形1.形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 2.比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段的长度分别为，那么就说这两条线段的比是，或写成注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式(2)比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：3. 比例的性质基本性质：(1)；(2)注意：由一
2、个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除了可化为，还可化为，更比性质(交换比例的内项或外项)：反比性质(把比的前项、后项交换)：合比性质：注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立如：等等等比性质：如果，那么注意：(1)此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立4.比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：
3、(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边5.黄金分割把线段分成两条线段，且使是的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中0.618例1如果，则下列正确的是（ ）ABCD例2两个相似多边形的一组对应边的长分别为，那么它们的相似比为（ ）ABCD二、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形相似用符号“”表示，读作“相似于” 相似三
4、角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)相似三角形对应角相等，对应边成比例注意：对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的两个三角形形状一样，但大小不一定一样全等三角形是相似比为1的相似三角形二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例三、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一有 (2)对称性：若，则 (3)传递性：若，且，则四、相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似定理的基本图形：五、三角形相似的判定方法
5、1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定
6、均适用(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式 如图，RtABC中，BAC=90，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BDDC，（2）（AB）2=BDBC ，（3）（AC）2=CDBC 。证明：在 BAD与ACD中，B+C=90，DAC+C=90，B=DAC，又BDA=ADC=90，BADACD相似， AD/BDCD/AD
7、，即（AD）2=BDDC。其余类似可证。注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得：（AB）2+（AC）2=BDBC+CDBC =（BD+CD)BC=（BC）2，即 （AB）2+（AC）2=（BC）2。这就是勾股定理的结论。例3下列能够相似的一组三角形为（ ）A所有的直角三角形B所有的等腰三角形C所有的等腰直角三角形D所有的一边和这边上的高相等的三角形例4如图，等边中，点E是的中点，点D在上，且，则（ ）ABCD六、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(3)相似三角形周长的比等于相似比(4
8、)相似三角形面积的比等于相似比的平方(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等例5两个三角形的相似比是3：2，则其面积之比是（ ）A3：2B2：3C9：4D27：8例6如图，则的度数为（ ）ABCD1（2022福建省泉州实验中学九年级期中）如图，已知内接于，平分，交于，交于，若，的长是方程的两实数根，且，则的长为（ ）ABCD2（2022哈尔滨市虹桥初级中学校九年级开学考试）如图，如果l1l2l3，则下列各式错误的是（）ABCD3（2022广西贺州市九年级期中）如图所示，已知点C是线段AB的黄金分割点，ACBC，且AB2，则AC的长约为（）A1.543B1.23
9、6C1.123D1.6184（2022广西贺州市九年级期中）已知，则下列式子成立的是（）A3x5yBxy15CD5（2022全国九年级专题练习）如图，ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0）以点C为位似中心，在x轴的下方作ABC的位似图形ABC，并把ABC的边长放大到原来的2倍设点B的对应点B的横坐标是，则点B的横坐标是（ ）ABCD6（2022全国九年级专题练习）下列命题：两个正方形是位似图形；两个等边三角形是位似图形；两个同心圆是位似图形；平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形，其中正确的有（ ）A1个B2个C3个D4个7（2022全国九年级专题练习）如图，直线l1l2l3，若AB=2，BC=3，DE=1，则EF的值为（ ）ABC6D8（2022哈尔滨市虹桥初级中学校九年级开学考试）如图，DEBC，且DBAE，若AB5，AC10，则AE的长是_9（2022诸暨市滨江初级中学）如图，已知ABDC，点E、F在线段BD上，AB2DC，BE2DF（1）求证：ABECDF（2）若BD8，DF2，求EF的长10（2022全国九年级专题练习）已知，求和值
