《人教A版高中数学(选择性必修一)同步培优讲义专题1.9 空间向量的应用-重难点题型精讲（原卷版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学(选择性必修一)同步培优讲义专题1.9 空间向量的应用-重难点题型精讲（原卷版）（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题1.9 空间向量的应用-重难点题型精讲1空间中点、直线和平面的向量表示(1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示我们把向量称为点P的位置向量 (2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使ta，把a代入式得t，式和式都称为空间直线的向量表示式2空间中直线、平面的平行(1)线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1l2u1u2R，使得u1u2.(2)线面平行的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面的法
2、向量，l，则lunun0.(3)面面平行的向量表示：设n1 ，n2 分别是平面，的法向量，则n1n2R，使得n1n2 .3空间中直线、平面的垂直(1)线线垂直的向量表示：设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1l2u1u2u1u20.(2)线面垂直的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面的法向量， l，则lunR，使得un.(3)面面垂直的向量表示：设n1，n2 分别是平面，的法向量，则n1n2n1n20.4距离问题(1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为a，则点P到直线l的距离
3、为 (如图) (2)点P到平面的距离：设平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点，则点P到平面的距离为(如图)5夹角问题(1)两个平面的夹角：平面与平面的夹角：平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90 的二面角称为平面与平面的夹角(2)空间角的向量法解法角的分类向量求法范围两条异面直线所成的角设两异面直线 l1，l2 所成的角为，其方向向量分别为u，v，则cos |cosu，v| 直线与平面所成的角设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面的法向量为n，则sin |cos u，n| 两个平面的夹角设平面与平面的夹角为，平面，的法向量分别为n1，n2
4、，则cos |cos n1，n2|【题型1 求平面的法向量】【方法点拨】(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如，；(2)设平面的法向量为n(x，y，z)；(3)联立方程组并求解；(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量【例1】（2022春连云港期中）在三棱锥PABC中，CP，CA，CB两两互相垂直，ACCB1，PC2，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的一个法向量的是（）ABC（1，1，1）D（2，2，1）【变式1-1】（2022春湖北月考）已知平面内有两点M（1，1，2），N（a，3
5、，3），平面的一个法向量为，则a（）A4B3C2D1【变式1-2】（2021秋河北区期末）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则平面A1BC1的一个法向量为（）A（1，1，1）B（1，1，1）C（1，1，1）D（1，1，1）【变式1-3】（2021秋诸暨市期末）在空间直角坐标系内，平面经过三点A（1，0，2），B（0，1，0），C（2，1，1），向量是平面的一个法向量，则+（）A7B5C5D7【题型2 空间线面平行关系的判定及应用】【方法点拨】利用向量证明线线平行的思路：证明线线平行只需证明两条直
6、线的方向向量共线即可证明线面平行问题的方法：(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内证明面面平行问题的方法：(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明【例2】（2021秋成都期中）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA12，AB6，E、F分别为A1D1、D1C1的中点分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz求点E、F的坐
7、标；求证：EF平面ACD1【变式2-1】如图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M在PD上，N在AC上，若，用向量法证明：直线MN平面PAB【变式2-2】（2021秋黄陵县校级期末）如图，已知棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面AMN平面EFBD【变式2-3】已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：（1）FC1平面ADE；（2）平面ADE平面B1C1F【题型3 空间线面垂直关系的判定及应用】【方法点拨】证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系写出点的坐标求直
8、线的方向向量证明向量垂直得到两直线垂直用坐标法证明线面垂直的方法及步骤：(1)利用线线垂直：将直线的方向向量用坐标表示；找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直(2)利用平面的法向量：将直线的方向向量用坐标表示；求出平面的法向量；判断直线的方向向量与平面的法向量平行证明面面垂直的两种方法：(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直【例3】（2021常熟市校级模拟）如图，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB2，E是PB的中点，cos，（1）建立适当的空间坐标系，写出点E
9、的坐标；（2）在平面PAD内求一点F，使EF平面PCB【变式3-1】（2022春青羊区校级期末）如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中点，在CC1上求一点P，使面A1B1P面C1DE【变式3-2】（2021浦东新区校级模拟）四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，（1，2，1），（0，2，3），（8，3，2），（1）求证：PA底面ABCD；（2）求PC的长【变式3-3】（2021秋吉林期末）如图，直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABCA1B1C1，在底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别为A1B1，A1A的中点（1）求的值；（2）求证：BN平面C1MN
10、【题型4 利用空间向量研究距离问题】【方法点拨】用向量法求点到直线的距离的一般步骤：(1)求直线的方向向量(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度(3)利用勾股定理求解另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化用向量法求点面距的步骤：(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标(3)求向量：求出相关向量的坐标(，内两不共线向量，平面的法向量n)(4)求距离d. 【例4】（2022春南通期末）如图，在四面体PABC中，PA平面ABC，ABAC，ABAC2PA2，点D在线段AC上（1）当D是线段AC中点时，求A到平面P
11、BD的距离；（2）若二面角APDB的余弦值为，求的值【变式4-1】（2022春岳麓区校级期末）如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD1E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90（1）在平面PAB内是否存在一点M，使得直线CM平面PBE，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由；（2）若二面角PCDA的大小为45，求P到直线CE的距离【变式4-2】（2022春九龙坡区校级月考）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F分别为AA1，AC，A1C1的中点，ACAA12（1）求证：AC平面BEF；（2）求点D与平面BEC1的距离；
12、（3）求二面角BCDC1的正弦值【变式4-3】（2022秋渝中区月考）在如图所示的五面体ABCDFE中，面ABCD是边长为2的正方形，AE面ABCD，DFAE，且DFAE1，N为BE的中点（）求证：FN平面ABCD；（）求二面角NMFD的余弦值；（）求点A到平面MNF的距离【题型5 利用空间向量求空间角】【方法点拨】求异面直线夹角的方法：(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解(2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别为a，b的方向向量，则cos .利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤：(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量u
13、；(3)求平面的法向量n；(4)设线面角为，则sin .利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种：(1)求平面的垂线的方向向量；(2)利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解.【例5】（2021秋盘龙区月考）如图，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，ABDC，E为线段PD的中点，已知PAABADCD2，PAD120（1）证明：直线PB平面ACE；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值【变式5-1】（2022秋安徽月考）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BCBB1，BC1B1CO，AO平面BB1C1C（1）求证：ABB1C；（2）若B1BC60，直线AB与平面BB1C1C所成的角为30，求二面角A1B1C1A的正弦值【变式5-2】（2022春江都区期中）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，直线AC平面BDEF，点O为AC与BD的交点，AB2，且DABDBF60（1）求异面直线DE与CF所成角的余弦值；（2）求二面角AFBC的余弦值【变式5-3】（2022南京模拟）如图，AB为圆柱底面的直径，ACD是圆柱底面的内接正三角形，AP和DQ为圆柱的两条母线，若AB2AP2（1）求证：平面PCQ平面
