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1、新高考数学一轮复习31空间几何体的表面积、体积巩固练习一、选择题某几何体三视图如图所示， 则此几何体的表面积为()A.416 B.2(2)16 C.48 D.2(2)8【答案解析】答案为：B.解析：由三视图知，该几何体是一个棱长为2的正方体和一个底面半径为、高为1的圆柱的组合体，其表面积S表522212()2222(2)16.故选B.一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.36 B.48 C.64 D.72【答案解析】答案为：B.解析：由几何体的三视图可得几何体，如图所示，将几何体分割为两个三棱柱，所以该几何体的体积为34434448，故选B.一个
2、几何体的三视图如图所示，则它的表面积为()A.28 B.242 C.204 D.202【答案解析】答案为：B.解析：如图，三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIEDCMH，则该几何体的表面积S(22)5(12)2212242.故选B.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.(9) B.(92) C.(10) D.(102)【答案解析】答案为：A.解析：由三视图可知，该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥，且圆锥的高是圆柱高的一半.故该几何体的表面积S1242(9).在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C
3、所成的角为30，则该长方体的体积为()A.8 B.6 C.8 D.8【答案解析】答案为：C.解析：如图，连接AC1，BC1，AC.AB平面BB1C1C，AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，AC1B30.又ABBC2，在RtABC1中，AC14.在RtACC1中，CC12，V长方体ABBCCC12228.平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为()A. B.4 C.4 D.6【答案解析】答案为：B.解析：设球的半径为R，由球的截面性质得R，所以球的体积VR34.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E是棱DD1的中点，则平面AC1E截该正方体所得的截
4、面面积为()A.5 B.2 C.4 D.2【答案解析】答案为：D解析：如图所示，设F为BB1的中点，连接AF，FC1，EF，设G为CC1的中点，连接EG，GB，由EGAB且EGAB，得四边形ABGE是平行四边形，则AEBG且AEBG，又BGC1F且BGC1F，得AEC1F且AEC1F，则A，E，C1，F共面，故平面AC1E截该正方体所得的截面为平面AFC1E.又正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，AFFC1EC1EA，AC12，EF2，EFAC1，故222.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为()A.12 B.1
5、8 C.24 D.54【答案解析】答案为：B.解析：由等边ABC的面积为9，可得AB29，所以AB6，所以等边ABC的外接圆的半径为rAB2.设球的半径为R，球心到等边ABC的外接圆圆心的距离为d，则d2.所以三棱锥DABC高的最大值为246，所以三棱锥DABC体积的最大值为9618.如图，圆柱的底面半径为r，高为h，记圆柱的表面积为S1，圆柱外接球的表面积为S2，若，则的值为()A. B. C.或1 D.或1【答案解析】答案为：D解析：圆柱的表面积S12r22rh，圆柱的外接球的半径为，其外接球的表面积S24()2(4r2h2)，即2h25rh3r20，(2h3r)(hr)0，则或1.蹴鞠，
6、又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D，满足ABCD9 cm，BDAC15 cm，ADBC13 cm，则该“鞠”的表面积为()A. cm2 B.235 cm2 C. cm2 D.230 cm2【答案解析】答案为：A解析：将四面体放入长方体中，四面体各边可看作长方体各面的对角线，如图所示，则“鞠”的表面积为四面体ABCD外接球的表面积，即为长方体外接球的表面积，设长方体棱长为a，b，c，则有a2b292，a2c2152，b2c2132
7、，设长方体外接球半径为R，则有(2R)2a2b2c2，解得4R2，所以外接球的表面积S4R2(cm2).已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若ABAC，AB1，AC3，AA1，则球O的体积为()A.8 B. C.16 D.【答案解析】答案为：D解析：在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，将直三棱柱ABCA1B1C1补成长方体ABDCA1B1D1C1，如图所示，所以球O的直径为2R4，可得R2，因此球O的体积为V.已知在三棱锥CABD中，ABD是等边三角形，BCCD，平面ABD平面BCD，若该三棱锥的外接球表面积为4，则AC等于()A. B. C. D.【答案解析】答案
8、为：C解析：根据题意，画出图形，如图，取BD的中点F，连接CF，AF，设该外接球球心为O，半径为R， 则4R24，解得R1，可知球心O为正ABD的中心，连接OD，所以OD1，AO1，OF，所以正ABD的边长为，因为BCCD，所以CFBD，因为平面ABD平面BCD，所以AFC，所以AC.二、填空题若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则_.【答案解析】答案为：.解析：设正四面体的棱长为a，则正四面体表面积为S14a2a2，其内切球半径为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为S24r2，则.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为_.【答案解析】答案
9、为：3.解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面ABC及其内切圆O1和外接圆O2，且两圆同圆心，即ABC的内心与外心重合，易得ABC为正三角形，由题意知O1的半径r1，ABC的边长为2，圆锥的底面半径为，高为3，V()233.棱长均相等的四面体ABCD的外接球半径为1，则该四面体的棱长为_.【答案解析】答案为：解析：将棱长均相等的四面体ABCD补成正方体，设正方体的棱长为a，则正四面体ABCD的棱长为a，正方体的体对角线长为a，由a2a，则a.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45，若SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为_.【答案解析】答案为：40解析：如图
10、，SA与底面成45角，SAO为等腰直角三角形.设OAr，则SOr，SASBr.在SAB中，cosASB，sinASB，SSABSASBsinASB(r)25，解得r2，SAr4，即母线长l4，S圆锥侧rl2440.三、解答题如图，一个圆锥的底面半径为2，高为4，在其中有一个高为x的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？【答案解析】解：(1)如图，设内接圆柱底面半径为r.S圆柱侧2rx.，r(4x).代入，S圆柱侧2x(4x)(x24x)(0x4).(2)S圆柱侧(x24x)(x2)24，x2时，S圆柱侧最大4.一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为1的
11、平行四边形，侧视图是一个长为、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.【答案解析】解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为.所以V11.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D平面ABCD，CD平面BCC1B1，所以AA12，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形.S2(11112)62.一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥的体积.【答案解析】解：正三棱锥S ABC如图所示，设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高.连接AH并延长交BC于
12、点E，则E为BC的中点，且AEBC.ABC是边长为6的正三角形，AE63，AHAE2.在ABC中，S ABCBCAE639.在RtSHA中，SA，AH2，SH，V正三棱锥SABCSH99.如图，ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC，AB=2，EB=.(1)求证：DE平面ACD；(2)设AC=x，V(x)表示三棱锥B-ACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值.【答案解析】解：(1)证明：四边形DCBE为平行四边形，CDBE，BCDE.DC平面ABC，BC平面ABC，DCBC.AB是圆O的直径，BCAC，且DCAC=C，DC，AC平面ADC，BC平面ADC.DEBC，DE平面ADC.(2)DC平面ABC，BE平面ABC.在RtABE中，AB=2，EB=.在RtABC中，AC=x，BC=(0x2)，SABC=ACBC=x，V(x)=V三棱锥E-ABC=x(0x2).x2(4x2)2=4，当且仅当x2=4x2，即x=时取等号，当x=时，体积有最大值.
