海南省华侨中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题 (含答案详解)

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1、海南华侨中学2022-2023学年第一学期高一年级期末考试数学科注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名考号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回3.答非选择题时,将答案写在答题卡上.一单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1. 已知,且,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知可求出,进而即可得出的值.【详解】因为,且,所以,.所以,.故选:A.2. 已知,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既

2、不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式,根据解的范围与的范围的大小关系,即可得出答案.【详解】解可得,显然该范围小于的范围.所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A.3. 已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求得集合,结合集合交集的运算,即可求解.【详解】由题意,集合,所以集合,所以.故选:D4. 已知偶函数在上单调递增,且,则的解集是( )A. B. 或C. D. 【答案】B【解析】【分析】由及函数单调性即可得到答案.【详解】偶函数在上单调递增,且,所以,解得或故的解集是或.故选:B5. 已知函数的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为(

3、 )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先可求出,再由得,由得,将其转化为、与的交点,数形结合即可判断.【详解】解:由得,由得,由得.在同一平面直角坐标系中画出、的图象,由图象知,.故选:B【点睛】本题考查函数的零点,函数方程思想,对数函数、指数函数的图象的应用,属于中档题.6. 若,且满足,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知可推出,进而可得出.然后根据的范围,开方即可求出.【详解】因为,所以,.所以,.又,所以,所以.故选:A.7. 王之涣登鹳雀楼:白日依山尽,黄河入海流,欲穷千里目,更上一层楼.诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山,而且揭示了“只有站得

4、高,才能看得远”的哲理,因此成为千古名句.我们从数学角度来思考:欲穷千里目,需上几层楼?把地球看作球体,地球半径,如图,设为地球球心,人的初始位置为点,点是人登高后的位置(人的高度忽略不计),按每层楼高计算,“欲穷千里目”即弧的长度为,则需要登上楼的层数约为( )(参考数据:,)A. 5800B. 6000C. 6600D. 70000【答案】C【解析】【分析】设.由已知可推得,进而在中,得出,则有,即可得出答案.【详解】设,弧的长为.由题意可得,.显然,则在中,有,所以.所以,.所以,需要登上楼的层数约为.故选:C.8. 定义在上的奇函数满足,且当时,则方程在上所有根的和为( )A. 32B

5、. 48C. 64D. 80【答案】C【解析】【分析】根据奇函数的性质判断出函数的周期,利用函数的对称性、数形结合思想进行求解即可.【详解】因为是奇函数,所以由,因此函数的周期为,当时,所以当时,当时,由,所以,所以当时,于是当时,该函数关于点对称,而函数也关于该点对称,在同一直角坐标系内图象如下图所示:由数形结合思想可知:这两个函数图象有8个交点,即共有四对关于对称的点,所以方程在上所有根的和为,故选:C【点睛】关键点睛:方程根的问题转化为两个函数图象交点问题是解题的关键.二多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的

6、得2分,有选错的得0分.)9. 下列命题中错误的是( )A. 命题“”的否定是“”B. 若幂函数图象经过点,则解析式为C. 若两个角的终边相同,则这两个角相等D. 满足的的取值集合为【答案】AC【解析】【分析】写出命题否定,即可判断A项;待定系数法设出幂函数的解析式,代入坐标,求解,即可判断B项;取特殊值,即可说明C项;根据的图象,即可得出不等式在上的解集,然后根据周期性,即可得出结果.【详解】对于A项,根据全称量词命题的否定可知,命题“”的否定是“”,故A项错误;对于B项,设幂函数解析式为.由已知可得,所以,所以,故B项正确;对于C项,因为,所以和终边相同,显然,故C项错误;对于D项,作出的

7、图象.由图可知,在上,满足的的取值集合为,根据正弦函数的周期性可知,满足的的取值集合为,故D项正确.故选:AC.10. 下列不等式中成立的是( )A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】根据函数的单调性,即可判断A、B项;根据诱导公式将角化到同一单调区间,进而根据函数的单调性,即可判断C项;根据诱导公式化为同一三角函数,进而根据函数的单调性,即可判断D项.【详解】对于A项,因为在上单调递增,所以,故A项错误;对于B项,因为在上单调递减,所以,故B项错误;对于C项,因为在上单调递减,所以.又,所以,故C项正确;对于D项,因为在上单调递增,所以.又,所以,故D项正确.故选:CD.11.

8、 已知直线是函数图象的一条对称轴,则( )A. 是偶函数B. 是图象的一条对称轴C. 在上单调递减D. 当时,函数取得最小值【答案】AC【解析】【分析】根据为图象的对称轴,求出,从而得到,得到A正确;整体法求解函数的对称轴方程,判断B选项;代入检验函数是否在上单调递减;代入求出,D错误.【详解】因为直线是函数图象的一条对称轴,所以,又,所以,所以,是偶函数,故A正确;令,解得:,所以图象的对称轴方程为,而不能满足上式,故B错误;当时,此时函数单调递减,故C正确;显然函数的最小值为,当时,故D错误故选:AC12. 已知,.则下列选项中正确的有( )A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【

9、分析】由已知可得,.根据不等式的性质,即可判断A项;根据基本不等式及其等号成立的条件即可判断B、C项;作差后,令,根据二次函数的性质,得出函数的单调性.易知,即可得出D项.【详解】由已知可得,所以.对于A项,因为,所以,所以,故A正确;对于B项,由基本不等式可知,当且仅当时,等号成立.因为,所以,所以,故B项正确;对于C项,因为,当且仅当时,等号成立.因为,所以,所以,故C项错误;对于D项,因为,所以.令,根据二次函数的性质可知,在上单调递增.又,所以有,则,所以.又,所以.所以,所以.因为,所以有,整理可得,故D项正确.故选:ABD.三填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知

10、角的终边过点,则_.【答案】#0.6【解析】【分析】由已知可推得,然后根据诱导公式化简,即可得出答案.【详解】由三角函数的定义可得,.所以,.故答案为:.14. 已知函数,则_.【答案】7【解析】【分析】根据分段函数求出,代入根据对数的运算性质即可得出答案.【详解】由已知可得,所以.故答案为:7.15. 已知过定点P,且P点在直线上,则的最小值=_【答案】#【解析】【分析】先求出定点,代入直线方程,最后利用基本不等式求解.【详解】经过定点,代入直线得,当且仅当时等号成立故答案为:16. 已知函数 在 上单调递增,则的最大值是_.【答案】4【解析】【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解.【详解】

11、由函数在区间上单调递增,可得 ,求得,故的最大值为,故答案为:4四解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.)17. 已知集合,全集(1)当时,求;(2)若,求实数取值范围.【答案】(1); (2).【解析】【分析】(1)代入得到,根据补集的运算求出.然后解可求出,进而根据交集的运算,即可得出结果;(2)显然成立.时,解即可得出实数的取值范围.【小问1详解】当时,所以或.由以及指数函数的单调性,可解得,所以.所以.【小问2详解】当时,有时,即,此时满足;当时,由得,解得,综上,实数的取值范围为.18. 已知函数.(1)求的对称中心和单调增区间;(2)当时,求函数的

12、最小值和最大值.【答案】(1)对称中心为,单调增区间为; (2)最小值为,最大值0.【解析】【分析】(1)结合正弦函数的性质,整体代入即可求出函数的对称中心以及单调递增区间;(2)令,由已知可得,. 根据的单调性,即可得出函数的最值.【小问1详解】令,则,所以的对称中心为.由,解得,所以函数的单调增区间为.【小问2详解】令因为,所以,则在上单调递增,在上单调递减.当,即时,函数有最大值为;又,所以,当,即时,函数有最小值为.所以,函数的最大值为0,函数的最小值为.19. 已知函数,且为奇函数.(1)求的值;(2)判断函数的单调性并证明;(3)解不等式:.【答案】(1) (2)减函数,证明见解析

13、 (3)【解析】【分析】(1)由若在区间D上为奇函数,则可得a的值,再由奇函数的定义检验即可.(2)由函数单调性的性质判断其单调性,再由单调性的定义法证明(任取、作差、变形、断号、写结论)即可.(3)由函数为奇函数处理原不等式得,再由函数在R上单调递减,比较两个括号中式子的大小,解不等式即可.【小问1详解】函数的定义域为R,函数为奇函数,则,得检验,当时,定义域为R,对于任意实数,所以所以当时,为奇函数.【小问2详解】由(1)知,在R上为单调递减函数.证明:设, ,即,即函数在定义域R上单调递减.【小问3详解】在R上为奇函数, ,又函数在R上单调递减,解得:,不等式的解集为20. 已知,(1)

14、若,求的值;(2)令,求此函数的最大值【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)应用同角三角函数关系及定义域化简,结合函数值及正切函数值确定角的大小即可;(2)令,结合二次函数性质求函数的最大值.【小问1详解】,由,即,又,故.【小问2详解】由(1)知:,令,所以,故,当时.21. 学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼,每天能用于锻炼的课余时间有60分钟,现需要制定一个课余锻炼考核评分制度,建立一个每天得分与当天锻炼时间(单位:分)的函数关系.要求及图示如下:(i)函数是区间上的增函数;(ii)每天运动时间为0分钟时,当天得分为0分;(iii)每天运动时间为20分钟时,当天得分为3分;(iiii)每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择:,.(1)请你根据条件及图

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