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1、叙州区二中高2022级高二上期期中考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出直线的斜率，利用直线的倾斜角与斜率的关系可求得该直线的倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，直线的方程即为，则，因此，.故选：C.2. 圆的圆心坐标和半径分别为（ ）A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】C【解析】【分析】利用圆的一般方程的圆心和半径公式，即得解【详解】可化为，由圆心为，半径，
2、易知圆心的坐标为，半径为.故选：C3. 已知直线的方向向量为,平面的法向量为,则直线与所成的角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先计算线的方向向量和面的法向量夹角的余弦值的绝对值,也即是线与面夹角的正弦值,由此即可选出选项.【详解】解:由题知,记直线与平面所成角为,则,所以直线与平面所成的角为.故选:A4. 某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 频率分布直方图中a的值为0.012B. 估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80C. 估计这20名学生数学考试成绩的众数
3、为80D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为110【答案】B【解析】【分析】根据所有矩形的面积和为1求出，然后逐一判断即可.【详解】由可得，故A错误前三个矩形的面积和为，所以这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B正确这20名学生数学考试成绩的众数为，故C错误这20名学生数学考试成绩落在内的学生人数为，则总体中成绩落在内的学生人数为，故D错误故选：B5. 设平面向量，其中m，记“”为事件A，则事件A发生的概率为（）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由向量的数量积公式结合古典概型概率公式得出事件A发生的概率.【详解】由题意可知，即，因为所有的基本事件共有种，其中满足的为
4、，只有1种，所以事件A发生的概率为.故选：D6. 已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则直线的方程为（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】当截距为0时，设出直线的点斜式；当截距不为0时，设出直线的截距式，进而将点代入方程解出参数，最后得到答案.【详解】当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线的方程为，把点代入方程，得，即，所以直线的方程为；当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线的方程为，把点代入方程，得，即，所以直线的方程为故选：D7. 已知圆：，过直线上的点作圆的两条切线，切点分别为，若存在点，使得，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 2【答案】C
5、【解析】【分析】若，此时四边形为正方形，若点存在，则应满足圆心到直线的距离小于等于正方形对角线的长，从而解得斜率取值范围，求得最小值.【详解】由题知，若，此时四边形为以为边长的正方形，此时，若存在点，则应满足圆心到直线的距离小于等于2，即，解得，即的最小值为.故选：C8. 已知，是椭圆：（）的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，且，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得为等边三角形，可得在轴上，设的坐标，可得的纵坐标与的关系，再由直线的斜率，可得，的关系，进而求出椭圆的离心率【详解】因为且，所以三角形为等边三角形，所以可得在轴上，设为，可得，
6、又因为，由可得：，故选：二选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 方程表示圆，则实数a的可能取值为（ ）A. 4B. 2C. 0D. 【答案】AD【解析】【分析】先把整理成圆的标准形式，满足右边关于的表达式大于零.【详解】把方程整理成，即，若表示圆则满足即，即所以或，观察答案中只有和符合题意.故选：AD10. 下列说法中错误的是（ ）A. 不过原点的直线都可以用方程表示B. 若直线，则两直线的斜率相等C. 过两点的直线都可用方程表示D. 若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存
7、在，则两条直线垂直【答案】ABD【解析】【分析】根据对直线的截距式、两点式的理解即可判断AC；根据两直线的位置关系即可判断BD.【详解】A：直线截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线，故A错误；B：和的斜率有可能不存在，故B错误；C：选项中的方程是直线的两点式方程化为整式后的结果，直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线，但化为整式后就可以表示任意直线，故C正确；D：直线斜率不存在，则直线垂直于x轴；直线斜率存在，但不一定为0，所以两直线不一定垂直，故D错误.故选：ABD.11. 已知甲袋内有a个红球，b个黑球，乙袋内有b个红球，a个黑球，从甲、乙两袋内各随机取出1个球，记事件“取出的
8、2个球中恰有1个红球”，“取出的2个球都是红球”，“取出的2个球都是黑球”，则（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据古典概型的概率计算公式，结合独立事件概率的乘法公式，分别计算三个事件的概率，可得答案.【详解】解：若取出的2个球为1个红球1个黑球，其概率，若2个球都是红球，其概率，若2个球都是黑球，其概率，且，故B正确，C错误；而，故A错误；，D正确，故选：BD12. 在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面平面ABCD，点M在线段PC上运动（不含端点），则（ ）A. 存在点M使得B. 四棱锥外接球的表面积为C. 直线PC与直线AD所成角为D. 当动点M到直线BD的距离最小
9、时，过点A，D，M作截面交PB于点N，则四棱锥的体积是【答案】BCD【解析】【分析】取AD的中点G，证明平面PGC，然后由线面垂直的性质定理判断A，把四棱锥补形成一个如图2的正方体，根据正方体的性质判断BC，由平面PGC，当动点M到直线BD的距离最小时，从而得为PC的中点，N为QA的中点，再由体积公式计算后判断D【详解】如图1，取AD的中点G，连接GC，PG，BD，,则，因为平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，平面，则又因为，所以，又，平面，所以平面PGC因为平面PGC，平面PGC，所以不成立，A错误因为APD为等腰直角三角形，将四棱锥的侧面APD作为底面一部分，补成棱长为1的
10、正方体如图2，则四棱锥的外接球即为正方体的外接球，其半径，即四棱锥外接球的表面积为，B正确如图2，直线PC与直线AD所成角即为直线PC与直线BC所成角，为，C正确如图1，因为平面PGC，当动点M到直线BD的距离最小时，由上推导知，因此M为PC的中点如图3，由M为PC的中点，即为中点,平面即平面与的交点也即为与的交点,可知N为QA的中点，故，D正确故选：BCD【点睛】方法点睛：空间几何体的外接球问题，（1）直接寻找球心位置，球心都在过各面外心用与该面垂直的直线上，（2）对特殊的几何体，常常通过补形（例如把棱锥）补成一个长方体或正方体，它们的外接球相同，而长方体（或正方体）的对角线即为外接球的直径
11、，由此易得球的半径或球心位置第II卷 非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知直线，若，则实数a的值是_【答案】或【解析】【分析】根据向量垂直列方程，化简求得值.【详解】由题意可知，故，即解得或.故答案:或14. 已知圆柱的母线长，底面半径，则该圆柱的侧面积为_【答案】【解析】【分析】利用圆柱的侧面积公式求解.【详解】因为圆柱的母线长，底面半径，所以该圆柱的侧面积为,故答案为：15. 点是圆的弦的中点，则直线的方程是_【答案】【解析】【详解】圆心，则，则直线方程是，即16. 设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两
12、点若，则实数k的值为_.【答案】或【解析】【分析】先求出椭圆方程，联立直线与椭圆方程，结合由E、F关于原点对称求出坐标，利用向量坐标运算建立方程求解即可.【详解】依题意得椭圆的方程为，直线AB，EF的方程分别为，.如图， 设D，E，F三点的坐标分别为，其中，由得，则满足方程，故，由知，得，由点D在直线AB上，知，即，所以，化简得，解得或.故答案为：或四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过两点，；（2）长轴长是短轴长的2倍，且过点【答案】（1） （2）或【解析】【分析】分焦点在轴和焦点在轴两种情况设椭圆方程，
13、将点代入列方程，解方程即可.【小问1详解】当焦点在轴时，设椭圆方程为，则，解得，所以此时椭圆方程为；当焦点在轴时，设椭圆方程为，则，解得，不符合要求；所以椭圆方程为.【小问2详解】当焦点在轴时，设椭圆方程为，则，解得，所以此时椭圆方程为；当焦点在轴时，设椭圆方程为，则，解得，所以此时椭圆方程为，所以椭圆方程为或.18. 已知顶点为，（1）求过且平行于直线的直线的方程；（2）求边上的高所在直线的方程【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据平行求出斜率，结合点斜式方程即可解题；（1）根据垂直求出斜率，结合点斜式方程即可解题.【小问1详解】，所以直线AB的斜率为1，所以过C且平行于直线AB的
14、直线的斜率也为-1，所以其直线方程为，化简得【小问2详解】因为直线AB的斜率为1，所以直线CD的斜率为1，又经过点，所以直线CD的方程为，化简得19. 2019年4月，习近平总书记到重庆市石柱县中益乡小学看望老师和同学们，希望看到更多的青年志愿者扎根贫困地区，献身乡村教育.各师范院校应届毕业生积极参与，现有几所高等师范院校大量优秀毕业生有意前往某市贫困地区.该市教育局组织了一场资格考察，规定每位学生需缴纳考试费200元.现从中抽查了100名学生成绩，制作了测试成绩X（满分200分）的频率分布直方图，规定185分为率取分数线.被录取的学生将会获得每人的交通和伙食补贴.（）若该市某县需要20名老师，按比例分配老师，得分195以上的老师会有几名？（）令Y表示每个学生的缴费支出和补助收入的代数和，用含X的函数来表示Y并根据概率分布直方图估计的概率.【答案】（）5名；（）0.84.【解析】【分析】（）利用分层抽样的性质能求出得分195以上的老师的人数.（）由，解得，从而的概率为：，由此能估计的概率.【详解】（）若该市某县需要20名老师，按比例分配老师，得分195以
