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1、叙州区二中高2022级高二上期期中考试数学试题本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时120分钟.第I卷 选择题(60分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 直线的倾斜角为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出直线的斜率,利用直线的倾斜角与斜率的关系可求得该直线的倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为,直线的方程即为,则,因此,.故选:C.2. 圆的圆心坐标和半径分别为( )A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】C【解析】【分析】利用圆的一般方程的圆心和半径公式,即得解【详解】可化为,由圆心为,半径,
2、易知圆心的坐标为,半径为.故选:C3. 已知直线的方向向量为,平面的法向量为,则直线与所成的角为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先计算线的方向向量和面的法向量夹角的余弦值的绝对值,也即是线与面夹角的正弦值,由此即可选出选项.【详解】解:由题知,记直线与平面所成角为,则,所以直线与平面所成的角为.故选:A4. 某校1000名学生参加数学竞赛,随机抽取了20名学生的考试成绩(单位:分),成绩的频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的是( )A. 频率分布直方图中a的值为0.012B. 估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80C. 估计这20名学生数学考试成绩的众数
3、为80D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为110【答案】B【解析】【分析】根据所有矩形的面积和为1求出,然后逐一判断即可.【详解】由可得,故A错误前三个矩形的面积和为,所以这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80,故B正确这20名学生数学考试成绩的众数为,故C错误这20名学生数学考试成绩落在内的学生人数为,则总体中成绩落在内的学生人数为,故D错误故选:B5. 设平面向量,其中m,记“”为事件A,则事件A发生的概率为()A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由向量的数量积公式结合古典概型概率公式得出事件A发生的概率.【详解】由题意可知,即,因为所有的基本事件共有种,其中满足的为
4、,只有1种,所以事件A发生的概率为.故选:D6. 已知直线过点,且在轴上的截距是在轴上的截距的倍,则直线的方程为( )A. B. C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】当截距为0时,设出直线的点斜式;当截距不为0时,设出直线的截距式,进而将点代入方程解出参数,最后得到答案.【详解】当直线在两坐标轴上的截距都为0时,设直线的方程为,把点代入方程,得,即,所以直线的方程为;当直线在两坐标轴上的截距都不为0时,设直线的方程为,把点代入方程,得,即,所以直线的方程为故选:D7. 已知圆:,过直线上的点作圆的两条切线,切点分别为,若存在点,使得,则的最小值为( )A. B. C. D. 2【答案】C
5、【解析】【分析】若,此时四边形为正方形,若点存在,则应满足圆心到直线的距离小于等于正方形对角线的长,从而解得斜率取值范围,求得最小值.【详解】由题知,若,此时四边形为以为边长的正方形,此时,若存在点,则应满足圆心到直线的距离小于等于2,即,解得,即的最小值为.故选:C8. 已知,是椭圆:()的左、右焦点,是的左顶点,点在过且斜率为的直线上,且,则的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得为等边三角形,可得在轴上,设的坐标,可得的纵坐标与的关系,再由直线的斜率,可得,的关系,进而求出椭圆的离心率【详解】因为且,所以三角形为等边三角形,所以可得在轴上,设为,可得,
6、又因为,由可得:,故选:二选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 方程表示圆,则实数a的可能取值为( )A. 4B. 2C. 0D. 【答案】AD【解析】【分析】先把整理成圆的标准形式,满足右边关于的表达式大于零.【详解】把方程整理成,即,若表示圆则满足即,即所以或,观察答案中只有和符合题意.故选:AD10. 下列说法中错误的是( )A. 不过原点的直线都可以用方程表示B. 若直线,则两直线的斜率相等C. 过两点的直线都可用方程表示D. 若两条直线中,一条直线的斜率存在,另一条直线的斜率不存
7、在,则两条直线垂直【答案】ABD【解析】【分析】根据对直线的截距式、两点式的理解即可判断AC;根据两直线的位置关系即可判断BD.【详解】A:直线截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线,故A错误;B:和的斜率有可能不存在,故B错误;C:选项中的方程是直线的两点式方程化为整式后的结果,直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线,但化为整式后就可以表示任意直线,故C正确;D:直线斜率不存在,则直线垂直于x轴;直线斜率存在,但不一定为0,所以两直线不一定垂直,故D错误.故选:ABD.11. 已知甲袋内有a个红球,b个黑球,乙袋内有b个红球,a个黑球,从甲、乙两袋内各随机取出1个球,记事件“取出的
8、2个球中恰有1个红球”,“取出的2个球都是红球”,“取出的2个球都是黑球”,则( )A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据古典概型的概率计算公式,结合独立事件概率的乘法公式,分别计算三个事件的概率,可得答案.【详解】解:若取出的2个球为1个红球1个黑球,其概率,若2个球都是红球,其概率,若2个球都是黑球,其概率,且,故B正确,C错误;而,故A错误;,D正确,故选:BD12. 在四棱锥中,底面ABCD是矩形,平面平面ABCD,点M在线段PC上运动(不含端点),则( )A. 存在点M使得B. 四棱锥外接球的表面积为C. 直线PC与直线AD所成角为D. 当动点M到直线BD的距离最小
9、时,过点A,D,M作截面交PB于点N,则四棱锥的体积是【答案】BCD【解析】【分析】取AD的中点G,证明平面PGC,然后由线面垂直的性质定理判断A,把四棱锥补形成一个如图2的正方体,根据正方体的性质判断BC,由平面PGC,当动点M到直线BD的距离最小时,从而得为PC的中点,N为QA的中点,再由体积公式计算后判断D【详解】如图1,取AD的中点G,连接GC,PG,BD,,则,因为平面平面ABCD,平面平面,平面,所以平面ABCD,平面,则又因为,所以,又,平面,所以平面PGC因为平面PGC,平面PGC,所以不成立,A错误因为APD为等腰直角三角形,将四棱锥的侧面APD作为底面一部分,补成棱长为1的
10、正方体如图2,则四棱锥的外接球即为正方体的外接球,其半径,即四棱锥外接球的表面积为,B正确如图2,直线PC与直线AD所成角即为直线PC与直线BC所成角,为,C正确如图1,因为平面PGC,当动点M到直线BD的距离最小时,由上推导知,因此M为PC的中点如图3,由M为PC的中点,即为中点,平面即平面与的交点也即为与的交点,可知N为QA的中点,故,D正确故选:BCD【点睛】方法点睛:空间几何体的外接球问题,(1)直接寻找球心位置,球心都在过各面外心用与该面垂直的直线上,(2)对特殊的几何体,常常通过补形(例如把棱锥)补成一个长方体或正方体,它们的外接球相同,而长方体(或正方体)的对角线即为外接球的直径
11、,由此易得球的半径或球心位置第II卷 非选择题(90分)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知直线,若,则实数a的值是_【答案】或【解析】【分析】根据向量垂直列方程,化简求得值.【详解】由题意可知,故,即解得或.故答案:或14. 已知圆柱的母线长,底面半径,则该圆柱的侧面积为_【答案】【解析】【分析】利用圆柱的侧面积公式求解.【详解】因为圆柱的母线长,底面半径,所以该圆柱的侧面积为,故答案为:15. 点是圆的弦的中点,则直线的方程是_【答案】【解析】【详解】圆心,则,则直线方程是,即16. 设椭圆中心在坐标原点,是它的两个顶点,直线与线段AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两
12、点若,则实数k的值为_.【答案】或【解析】【分析】先求出椭圆方程,联立直线与椭圆方程,结合由E、F关于原点对称求出坐标,利用向量坐标运算建立方程求解即可.【详解】依题意得椭圆的方程为,直线AB,EF的方程分别为,.如图, 设D,E,F三点的坐标分别为,其中,由得,则满足方程,故,由知,得,由点D在直线AB上,知,即,所以,化简得,解得或.故答案为:或四、解答题:本题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 分别求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)经过两点,;(2)长轴长是短轴长的2倍,且过点【答案】(1) (2)或【解析】【分析】分焦点在轴和焦点在轴两种情况设椭圆方程,
13、将点代入列方程,解方程即可.【小问1详解】当焦点在轴时,设椭圆方程为,则,解得,所以此时椭圆方程为;当焦点在轴时,设椭圆方程为,则,解得,不符合要求;所以椭圆方程为.【小问2详解】当焦点在轴时,设椭圆方程为,则,解得,所以此时椭圆方程为;当焦点在轴时,设椭圆方程为,则,解得,所以此时椭圆方程为,所以椭圆方程为或.18. 已知顶点为,(1)求过且平行于直线的直线的方程;(2)求边上的高所在直线的方程【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据平行求出斜率,结合点斜式方程即可解题;(1)根据垂直求出斜率,结合点斜式方程即可解题.【小问1详解】,所以直线AB的斜率为1,所以过C且平行于直线AB的
14、直线的斜率也为-1,所以其直线方程为,化简得【小问2详解】因为直线AB的斜率为1,所以直线CD的斜率为1,又经过点,所以直线CD的方程为,化简得19. 2019年4月,习近平总书记到重庆市石柱县中益乡小学看望老师和同学们,希望看到更多的青年志愿者扎根贫困地区,献身乡村教育.各师范院校应届毕业生积极参与,现有几所高等师范院校大量优秀毕业生有意前往某市贫困地区.该市教育局组织了一场资格考察,规定每位学生需缴纳考试费200元.现从中抽查了100名学生成绩,制作了测试成绩X(满分200分)的频率分布直方图,规定185分为率取分数线.被录取的学生将会获得每人的交通和伙食补贴.()若该市某县需要20名老师,按比例分配老师,得分195以上的老师会有几名?()令Y表示每个学生的缴费支出和补助收入的代数和,用含X的函数来表示Y并根据概率分布直方图估计的概率.【答案】()5名;()0.84.【解析】【分析】()利用分层抽样的性质能求出得分195以上的老师的人数.()由,解得,从而的概率为:,由此能估计的概率.【详解】()若该市某县需要20名老师,按比例分配老师,得分195以