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1、20232024学年大联考安徽高一(上)期中考试皖豫名校联盟&安徽卓越县中联盟数学试卷考生注意:1.答题前,考生务必将自己的姓名考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 命题“”的否定是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据全
2、称命题的否定即可得答案.【详解】命题“”的否定是“”.故选:A.2. 已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由集合的交集运算可得.【详解】,所以.故选:C.3. 函数的定义域为( )A. B. C. 且D. 【答案】C【解析】【分析】根据偶次根式下非负及分母不为零列方程计算即可.【详解】由题意可知的定义域需要满足解得且.故选:C.4. 已知,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质计算可以判断B选项,赋值法可以判断A,C,D选项.【详解】令A选项错误;,根据不等式的性质可得,所以,B选项正确,C选项错误;,D选项错误.故选:B.5
3、. 已知为幂函数,则( )A. 在上单调递增B. 在上单调递减C. 在上单调递增D. 在上单调递减【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的定义求出参数的值,即可得出解析式,再分析其性质即可得出答案.【详解】是幂函数,解得或,或.对于,函数在R上单调递增;对于,函数在上单调递减,在上单调递增.故只有A选项“在上单调递增”符合这两个函数的性质.故选:A.6. 设,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的单调性比较函数值的大小关系.【详解】,又.故选:D.7. 碳14是碳元素的一种同位素,具有放射性.活体生物组织内的碳14质量大致不变,当生物死亡后,其组织内的碳14开始
4、衰减.已知碳14的半衰期为5730年,即生物死亡年后,碳14所剩质量,其中为活体生物组织内碳14的质量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2023年科学家在我国发现的某生物遗体中碳14的质量约为原始质量的0.92倍,已知,则根据所给的数据可推断该生物死亡的朝代为( )A. 金(公元年)B. 元(公元年)C. 明(公元年)D. 清(公元1616-1911年)【答案】B【解析】【分析】设活体生物组织内碳14的质量,由题意建立方程求解即可.【详解】设活体生物组织内碳14的质量,由题意知:,又,所以该生物死亡的朝代为元.故选:B.8. 已知函数为偶函数,当且时,若对任意的恒成立,则实数的取
5、值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据偶函数性质可得,结合单调性可得,分和两种情况,根据恒成立问题结合基本不等式运算求解.【详解】由题意知在上单调递减,且是偶函数,所以在上单调递增,且,因为恒成立,所以,所以恒成立,当时,符合题意,;当时,可得,又因为,当且仅当,即时,等号成立,所以,即;综上所述:实数的取值范围为.故选:C.二多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 下列说法正确的是( )A. B. ,都有C. 设,则“且”是“”的必要不充分条件D. 设
6、,则“”是“”的必要不充分条件【答案】AD【解析】【分析】根据全称量词命题、存在量词命题、必要不充分条件等知识对选项进行分析,从而确定正确答案.【详解】对于A ,满足,故A正确;对于B,当时,故B错误;对于C,由“且”,可以得出“”,故C错误;对于D ,且,则由无法得到,但是由可以得到,故D正确.故选:AD10. 十六世纪中叶,英国数学教育家雷科德在砺智石一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈里奥特首次使用“”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,则下列命题正确的是( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若且,则【答案】ABD【解析】【分析】根据不
7、等式的性质一一判断即可.【详解】对于A:,故A正确;对于B:,又函数在上单调递增,故B正确;对于C:由可得,所以,故C错误;对于D:且,故D正确.故选:ABD11. 已知不等式的解集为或,则( )A. B. C. 不等式的解集为D. 不等式的解集为【答案】BCD【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集,先求得的关系式,然后对选项进行分析,从而确定正确答案.【详解】因为不等式的解集为或,则,且关于的方程的两根分别为,由根与系数的关系可得,所以.对于A,A错误;对于B,不在不等式的解集内,令,则有,B正确;对于C,该不等式的解集为,C正确;对于D,不等式即为,化简可得,解得,因此,不等式的解集为,
8、D正确.故选:BCD12. 已知定义在上的函数满足,且,当时,则( )A. B. C. 在区间上单调递减,在区间上单调递增D. 不等式的解集是【答案】ABD【解析】【分析】对于,令,可得,正确;对于,令,可得,正确;对于,利用函数单调性定义可判断出在上单调递增,错误;对于,利用题中条件变形不等式,利用函数单调性转化不等式,解出即可判断.【详解】对于,令,得,即,正确;对于,令,得,因,所以,正确;对于,对任意,则,所以,所以在上单调递增,错误;对于,又,所以原不等式等价于,因为在上单调递增,所以,解得正确.故选:三填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知集合,若,则_.【答案】
9、【解析】【分析】根据集合相等求参再检验即可.【详解】因为,所以,解得或,当时,与集合中元素的互异性矛盾,故不符合题意.经检验可知符合.故答案为:-1.14. 已知函数在上单调递增,则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】分段函数单调递增,在各段区间单调递增,且由区间端点处满足的大小关系列不等式组求解即可.【详解】因为在上单调递增,所以 ,即,解得则的取值范围是.故答案为:.15. 若为定义在上的偶函数,函数,则_.【答案】4【解析】【分析】利用奇偶函数性质得,从而得到答案.详解】由题意可得,所以,故,所以.故答案为:4.16. 已知奇函数在上单调递增,且,则不等式的解集为_.【答案】【解析】
10、【分析】根据奇函数的定义简化不等式得出或,再根据已知画出函数草图,即可根据草图得出不等式,解出答案.【详解】为奇函数,即,则或,且为奇函数,函数在上是增函数,函数在上也为增函数,画出函数单调性示意图如下,结合函数的单调性示意图可得或.解得故答案为:.四解答题:共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. (1)已知,求的值;(2)已知,且,求的值.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)利用指数幂运算法则进行运算即可;(2)把两边平方得,化简表达式,代入即可求值.【详解】(1)因为,所以.(2)由题可知,故,.18. 已知函数且的图象过点,.(1)求的值;(2)记在区间上的值域分
11、别为集合,若是的必要条件,求实数的取值范围.【答案】(1)2 (2)【解析】【分析】(1)代入点,求出;(2)求出的值域和的值域,根据题目条件得到,得到不等式,求出实数的取值范围.【小问1详解】的图象过点,解得.【小问2详解】由(1)得,当时,的值域为,即,当时,的值域为,即,是的必要条件,解得,的取值范围是.19. 已知函数.(1)若关于x的方程有两个不等的正实数根,求实数a的取值范围;(2)当时,设的最小值为,求的表达式.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据一元二次函数与方程之间的关系,结合韦达定理即可求解;(2)利用一元二次函数图像,分类讨论给定区间与对称轴之间的关系,求出各
12、种情况下函数的最小值.【小问1详解】方程即,设方程两根为,要使方程有两个不等的正实数根,则解得,即a的取值范围是.【小问2详解】当时,若,即,则在上单调递减,;若,即,则在上单调递增,;若,即,则.综上,20. 一艘运送化工原料的船只在江面上发生故障导致化学品泄漏,发现时已有的水面被污染,且污染面积以每小时的速度扩大,经测算,水面被污染造成的直接经济损失约为每平方米300元.有关部门在发现的同时立即安排清污船清理被污染的水面,该部门需要支付一次性租金为每条清污船1600元,劳务费和耗材费合计为每条清污船每小时200元.若安排条清污船清理水面,假设每条清污船每小时可以清理的水面,需要小时完成污染
13、水面的清理(污染面积减小到).(1)写出关于的函数表达式;(2)应安排多少条清污船清理水面才能使总损失最小?(总损失水面被污染造成的直接经济损失+清污工作的各项支出)【答案】(1); (2)安排22条.【解析】【分析】(1)根据给定信息列等式,再变形即得.(2)根据给定的函数模型,结合(1)求出总损失关于的函数关系,再利用基本不等式求解即得.【小问1详解】依题意,所以【小问2详解】设总损失为元,则,当且仅当,即时取等号,所以应安排22条清污船清理水面才能使总损失最小.21. (1)已知函数满足为奇函数,函数为偶函数,求的解析式;(2)已知函数满足,判断在上的单调性并用定义证明.【答案】(1);
14、(2)单调递减,证明见解析.【解析】【分析】(1)利用奇偶性得到的方程组,求解可得;(2)以替换,构造另一个等式,联立解方程组可得.【详解】(1)为奇函数,.偶函数,.+,得,.(2),把用替换,得,由得,.判断:在上单调递减.证明:设任取,且,则,则,在上单调递减.22. 已知函数为指数函数,函数为奇函数.(1)求的解析式;(2)设函数满足,若不等式恒成立,求实数的最大值.【答案】(1), (2)8【解析】【分析】(1)根据指数函数解析式即可求得,再利用奇函数的定义求出即可;(2)由(1)求出,不等式恒成立,令,可得在时恒成立,利用基本不等式可得答案.【小问1详解】因为为指数函数,所以,解得(舍去)或,所以,所以,因为为奇函数,所以,即,得到,解得,可得,且,奇函数所以;【小问