第一讲：弦长问题【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，弦长公式的推导过程；应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的弦长公式的应用，并能够熟练使用弦长公式求解长度；拓展目标：能够熟练应用基本不等式等方法，求解圆锥曲线弦长等最值.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】1、弦长公式设，根据两点距离公式．（1）若在直线上，代入化简，得;（2）若所在直线方程为，代入化简，得（3）抛物线的弦长公式：若直线不过焦点，与双曲线相交于两点，弦长，若直线过焦点，与双曲线相交于两点，则弦长.2、基本不等式（1）（），当且仅当时，等号成立；（2），当且仅当时，等号成立.【考点剖析】考点一：求弦长例1．椭圆C：左右焦点为，，离心率为，点在椭圆C上．(1)求椭圆的标准方程；(2)经过点，倾斜角为直线与椭圆交于两点，求．【答案】(1)；(2)解析：（1）由题意得，解得，又因为点在椭圆C上，带入得，所以椭圆的标准方程为.（2）易得直线l的解析式为，设，联立椭圆的方程得，所以．例2．设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.(1)双曲线的方程；(2)若直线：与双曲线相交于两点，求.【答案】(1)；(2)解析：（1）抛物线的焦点为，所以，即，，又点，，是等腰直角三角形的三个顶点，所以，即，又，所以，所以双曲线方程为.（2）依题意设，，由消去整理得，由，所以，，所以.例3．已知抛物线的焦点为，第四象限的一点在上，且.(1)求的方程和的值；(2)若直线交于两点，且线段中点的坐标为，求直线的方程及线段的长.【答案】(1)，；(2)，解析：(1)抛物线的准线方程为，由抛物线定义得，，解得，所以抛物线C的方程为.将代入C的方程得，，解得，因为点P在第四象限，所以.(2)由题意易知直线l的斜率显然存在，设直线l的斜率为k，，，则有两式作差得，则，因为线段AB中点的坐标为，所以，所以，所以直线l的方程为，即，联立得，则，，所以.变式训练1：已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为且过点，(1)求椭圆的标准方程；(2)倾斜角为45°的直线过椭圆的右焦点交椭圆于､两点，求【答案】(1)；(2).解析：（1）因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为：，因为椭圆的离心率为且过点，所以，所以椭圆的标准方程为：；（2）由（1）可知：，所以直线的方程为：，代入椭圆方程中，得，设，所以，因此.变式训练2：已知双曲线的渐近线方程为，且过点．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长．【答案】(1)；(2).解析：（1）由双曲线方程知：渐近线斜率，又渐近线方程为，；双曲线过点，；由得：，双曲线的方程为：；（2）由（1）得：双曲线的焦点坐标为；若直线过双曲线的左焦点，则，由得：；设，，则，；由双曲线对称性可知：当过双曲线右焦点时，；综上所述：.变式训练3：已知抛物线的准线方程为，点是抛物线的焦点.(1)求抛物线的方程；(2)斜率为的直线过点，且与交于，两点，求线段的长.【答案】(1);(2)10解析：(1)由准线方程可得，即，所以抛物线的方程为(2)由题得：直线的方程为，设，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，所以，由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以弦长考点二：已知弦长求直线例1．已知椭圆过椭圆右焦点，且垂直于轴的直线与椭圆在第一象限交于点，已知椭圆的左焦点为，的面积是．(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线与椭圆交与、两点，当时，求直线的方程．【答案】(1)；(2)或或或.解析：（1）根据题意，椭圆的左焦点为，联立，解得，则过椭圆右焦点且垂直于轴的直线与椭圆在第一象限交于点，可得，因为的面积是，即，解得，所以，，所以，因此，椭圆的标准方程为.（2）设、，由得，解得，，所以，，整理可得，解得或.因此，直线的方程为或或或.例2.已知双曲线，直线l与交于P、Q两点．(1)若点是双曲线的一个焦点，求的渐近线方程；(2)若点P的坐标为，直线l的斜率等于1，且，求双曲线的离心率．【答案】(1)；(2)或解析：(1)∵点是双曲线的一个焦点，∴，又∵且，解得，∴双曲线方程为，∴的渐近线方程为：；(2)设直线的方程为，且，，联立，可得，则，∴，即，∴，解得或，即由可得或，故双曲线的离心率或.例3．已知抛物线C：上一点到焦点的距离为．(1)求实数的值；(2)若直线过的焦点，与抛物线交于两点，且，求直线的方程．【答案】(1)2；(2)或．解析：(1)抛物线焦点为，准线方程为，因为点到焦点F距离为2，所以，解得．(2)抛物线C的焦点坐标为，当斜率不存在时，可得不满足题意，当斜率存在时，设直线l的方程为．联立方程，得，显然，设，，则，所以，解得 所以直线l的方程为或变式训练1：椭圆C的方程为，右焦点为，离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)若直线与圆相切，与椭圆交于两点，且，求直线的方程．【答案】(1)；(2)或解析：（1）由椭圆C的方程为，右焦点为，离心率为，可得半焦距且，解得，又由，所以椭圆方程为.（2）由（1）得，圆的方程为，设，当直线的斜率不存在时，，不合题意； 当直线的斜率存在时，设直线，由直线与曲线相切可得，所以，联立方程组，可得，所以，，所以， 解得或，所以直线或.变式训练2：已知双曲线的离心率为，实轴长为2.(1)求双曲线的焦点到渐近线的距离；(2)若直线被双曲线截得的弦长为，求的值.【答案】(1)；(2)解析：（1）双曲线离心率为，实轴长为2，，，解得，，，所求双曲线C的方程为；∴双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，即为，∴双曲线的焦点到渐近线的距离为.（2）设,,联立，，，，．，，解得．变式训练3：已知抛物线，其通径为4．(1)求抛物线的标准方程；(2)过抛物线焦点作直线，使得直线与抛物线交于两点，且满足弦长，求直线斜率．解析：(1)由题意知：抛物线通径为，即，所以，抛物线的标准方程为．(2)由（1）知：抛物线焦点，①当时，显然不满足，②当时，设直线l方程为，联立，得，，则，．所以，，即，考点三：弦长最值例1．已知椭圆的焦距为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)若斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，求的最大值.【答案】(1)；(2).解析：（1）由题设，且，故，，则，所以椭圆的方程为.（2）设直线为，联立椭圆并整理得：，所以，可得，且，，所以且，故当时，.例2.已知双曲线经过点，它的两条渐近线分别为和.(1)求双曲线的标准方程；(2)设双曲线的左､右焦点分别为､，过左焦点作直线交双曲线的左支于两点，求周长的取值范围.【答案】(1)；(2)解析：（1）设双曲线C的方程为，代入点，得，所以双曲线C的标准方程为.（2）双曲线C的左焦点为，设､，①若直线l的斜率不存在，则，得A､B的坐标分别为和，此时的周长为.②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，由得，因为直线l交双曲线的左支于A､B两点，所以，得设的周长为z，，设，由，得，，，所以，综上，由①②可得的周长的取值范围.例3．已知动圆过定点，且截轴所得弦长为，设圆心的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)若为曲线上的两个动点，且线段的中点到轴距离，求的最大值，并求此时直线方程．【答案】(1)；(2)12，解析：(1)设动圆圆心，则，化简整理；得，故曲线的轨迹方程为；(2)设直线方程为，由消去得，所以，，，，．，当且仅当，即（满足）时，|AB|取得最大值12，此时，，直线AB方程为：.变式训练1：在直角坐标系xOy中，已知点，，M是平面内一动点，且，记M的轨迹为曲线C．(1)求C的方程；(2)设直线l与圆相切于点A，与C相切于点B，求的取值范围．【答案】(1)；(2)解析：(1)因为，所以点M的轨迹为焦点为，，长轴长为4的椭圆．故曲线C的方程为．(2)因为，所以直线l的斜率一定存在，可设l的方程为．因为l与圆相切，所以圆心到l的距离，即．联立方程组，整理得．因为l与C相切于点B，所以，整理得，则B的坐标为．由题可知OA⊥AB，所以．因为，当且仅当时，等号成立，所以，故的取值范围为．变式训练2：直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，且．（1）求与满足的关系；（2）求证：点到直线的距离是定值，并求的最小值．【答案】（1）；（2）证明见解析，解析：（1）设点A,B,联立消得,∴,由得代入化简可得和满足的关系为:;（2）由点到直线的距离公式可得:,由(1)得代入可解得为定值;由直线与双曲线交点弦弦长公式可得:,令(t≤3)化简可得,由t≤3可得当,t=3时.变式训练3：．已知动圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为．(1)求动点的轨迹方程；(2)已知直线交轨迹于两点，，且中点的纵坐标为，则的最大值为多少？【答案】(1)；(2)解析：（1）由题设点到点的距离等于它到的距离，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所求轨迹的方程为；（2）由题意易知直线的斜率存在，设中点为，直线的方程为，联立直线与抛物线，得，，且，，又中点为，即，，故恒成立，，，所以，当时，取最大值为.考点四：双弦长、交线段长例1．已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与轴交于点，当时，求的值．【答案】(1)；(2)解析：（1）依题意可得，，又，所以，所以椭圆方程为；（2）依题意过点的直线为，设、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直线的方程为，令，解得，直线的方程为，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得例2．如图，已知抛物线的焦点为椭圆：（）的右焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线交抛物线于，两点，交椭圆于，两点（，，，依次排序），且，求直线的方程.【答案】(1)；(2)解析：(1)由抛物线可知：，故由得： ,故 ，则 ，则对于有： ，解得，故椭圆方程为：；(2)过点的直线 的斜率不存在时，则有不符合题意，故设直线 的斜率为k，则直线方程为 ，联立抛物线方程： ，整理得： ，设 ，则，故 ，联立，整理得： ，设,则，则 ，又,故，即，整理得 ，解得 ，由题中所给图可知， ，故，故直线的方程为.例3．已知圆，点是圆上任意一点，在轴上的射影为，点满足，记点的轨迹为．(1)求曲线的方程；(2)已知，过的直线与曲线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求的取值范围．【答案】(1)；(2)解。
