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1、第三章 三角恒等变换一、课标要求：本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化
2、积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.二、编写意图与特色1. 本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；2. 本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；3. 本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点
3、的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；4. 本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约8课时，具体分配如下：3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 约3课时3.2简单的恒等变换 约3课时复习 约2课时课题 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求：本节的中心内容是建立相关的十一个公式，
4、通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.二、编写意图与特色本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.三、学习重点与难点1. 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；2. 难点：两角差的余弦公式的探索与证明.课题 3.1.1 两角差的余弦公式（第一课时）一、学习目标(1)掌握借助单位圆，运用三角函数定义和向量夹角的余弦公式推导出两角差的余弦公式；(2)通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及功能
5、，为建立其它和（差）公式打好基础；(3)通过教学活动，使学生经历发现、猜想、论证的数学化的过程，并体验到数学学习的严谨、求实的科学态度，逐步培养学生探索问题的精神。二、学习重、难点1.重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2.难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、学习过程1、学习引导探究（一）：两角差的余弦公式 思考1：设，为两个任意角, 你能判断cos()coscos恒成立吗?思考2：我们设想cos()的值与，的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？cos(6030)co
6、s60cos30sin60sin30cos(12060)cos120cos60sin120sin60思考3：一般地，你猜想cos()等于什么？思考4：如图，设，为锐角，且，角的终边与单位圆的交点为P1, P1OP，那么cos()表示哪条线段长？思考5：上图中，如何用线段分别表示sin和cos？思考6：coscosOAcos，它表示哪条线段长？sinsinPAsin，它表示哪条线段长？思考7：利用OMOBBMOBCP可得什么结论？思考8：上述推理能说明对任意角，都有cos()coscossinsin成立吗？思考9：根据coscossinsin的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？思考10：如
7、图，设角，的终边与单位圆的交点分别为A、B，则向量、的坐标分别是什么？其数量积是什么？思考11：向量与的夹角与、有什么关系？根据量积定义，等于什么？由此可得什么结论？ 思考12：公式cos()coscossinsin称为差角的余弦公式，记作，该公式有什么特点？如何记忆？探究（二）：两角差的余弦公式的变通 思考1：若已知和的三角函数值，如何求cos的值？思考2：利用()可得cos等于什么？思考3：若coscosa，sinsinb，则cos()等于什么？思考4：若coscosa，sinsinb，则cos()等于什么？2、随堂练习、3、知识拓展例1 例2 已知且 , 求的值. 四、反思小结1.在差角
8、的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会.2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.3.在差角的余弦公式中，既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，2()() 等. 同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.五、自我测评 2、 课题 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第二课时）一、学习目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程
9、，理解推导过程，掌握其应用.二、学习重、难点1.重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系；2.难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、学习过程1、学习引导探究（一）：两角和与差的基本三角公式 思考1：注意到()，结合两角差的余弦公式及诱导公式，cos()等于什么？思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，记作，该公式有什么特点？如何记忆？思考3： 诱导公式可以实现由正弦到余弦的转化，结合 和 你能推导出sin()，sin()分别等于什么吗？思考4：上述公式就是两角和与差的正弦公式，分别记作，这两个公式有什么特点？如何记忆？思考5：正切函数与正弦、余弦函数之间存在
10、商数关系，从、出发，tan()、tan()分别与tan、tan有什么关系 思考6：上述公式就是两角和与差的正切公式，分别记作，这两个公式有什么特点？如何记忆？公式成立的条件是什么？思考7：为方便起见，公式，称为和角公式，公式，称为差角公式。怎样理解这6个公式的逻辑联系？探究（二）：两角和与差三角公式的变通 思考1：若coscosa，sinsinb，则cos()等于 思考2：若sincosa，cossinb，则sin()等于 思考3：根据公式，tantan可变形为 思考4：sinxcosx能用一个三角函数表示吗？ 2、随堂练习、利用和差角公式，求下列各式的值； ；、利用和差角公式，求下列各式的值
11、；、已知是第四象限角，求的值.3、知识拓展例1.化简 例2.已知求的值例3.已知，求的值四、反思小结1.两角差的余弦公式是两角和与差的三角系列公式的基础，明确了各公式的内在联系，就自然掌握了公式的形成过程.2.公式与，与，与的结构相同，但运算符号不同，必须准确记忆，防止混淆.3.公式都是有灵活性的，应用时不能生搬硬套，要注意整体代换和适当变形.五、自我测评课题 3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式（第三课时）一、 学习目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.二、学习重、难点1、重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正
12、弦、余弦和正切公式；2、难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、学习过程1、学习引导探究（一）：二倍角基本公式思考1：两角和的正弦、余弦和正切公式都是恒等式，特别地，当时，这三个公式分别变为什么？思考2：上述公式称为倍角公式，分别记作S2，C2，T2，利用平方关系，二倍角的余弦公式还可作哪些变形？思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切公式中，角的取值范围分别如何？ 思考4：如何推导sin3，cos3与的三角函数关系？探究（二）：二倍角公式的变通 思考1：1sin2可化为 思考2：根据二倍角的余弦公式，sin2，cos2与cos2的关系分别如何？ 思考3：tan与sin2，cos2之间是否存在某种关系？ 思考4：sin2，cos2能否分别用tan表示？ 2、随堂练习sin2230cos2230=_;_;_;_._; _;3、知识拓展四、反思小结1.角的倍半关系是相对而言的, 2是的两倍, 4是2的两倍等，这里蕴含着换元的思想.2.二倍角公式及其变形各有不同的特点和作用，解题时要注意公式的灵活运用，在求值问题中，要注意寻找已知与未知的联结点.3.二倍角公式有许多变形，不要求都记忆，需要时可直接推导.五、自我测评3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用二、编写意图与特色
