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1、由高考题看导数在实际问题中的应用学习对“终身发展必备的基础知识和技能，了解这些知识与技能在生活、生产中的应用，关注科学技术的现状及发展趋势”是高中新课标所规定的课程总目标之一.为此高考数学逐步加大对数学应用的考查,试题背景越来越贴近生活和生产实际.高中数学中引进了导数，这显示了对简单化的追求，又拓宽了数学的思维途径而以函数为背景的实际问题大量存在，给高考数学提供了广阔的空间导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小的强有力的工具，也是数学高考命题的一个新热点例1 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距1
2、00千米（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？分析：本题应将耗油量表示为的函数，对该函数求导，从而求得最小值.解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）因此当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得令得当时，是减函数；当时，是增函数，当时，取到极小值因为在上只有一个极值，所以它是最小值则当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升点评：
3、本题难度不大，但颇具示范性首先是将实际问题抽象为函数模型，进而用导数研究函数的性质和极值，其解题思路简洁，易于操作 例如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值分析：先建立直角坐标系，设出椭圆的方程，表示出梯形面积的函数关系，利用导数的有关知识解决问题.解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为点的纵坐标满足方程，解得. ，其定义域为（II）记，则令，得因为当时，；当时，所以是的最大值因此，当时，也取得
4、最大值，最大值为即梯形面积的最大值为点评：本题主要考查解析几何知识、函数知识以及导数在实际问题中的应用.其解题思路是将已知的几何关系数量化，再借助导数研究其性质.本题巧妙地将实际问题与解析几何、函数、导数结合起来，非常具有新意.例3某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件（）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值分析：建立函数关系，并对其求导，对进行分类讨论.解：（）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：
5、（）令得或（不合题意，舍去），在两侧的值由正变负所以（1）当即时，（2）当即时，所以因此若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值为9（6）万元；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）点评：本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力在一定条件下，怎样使“成本最低”、“用料最省”、“产品最多”、“利润最大”等问题，一般均可建立函数关系式，利用导数求最值的方法来解决，本题颇具代表性 解决此题的关键是确定函数的解析式，再用导数的知识解决，还应注意对参数的讨论.由上面的几个问题我们可以看出它们都是将导数内容和传统内容中的不等式、函数的
6、单调性等知识有机地结合起来进行考查.由此可见导数作为研究函数的工具，在解决实际问题中的极值、最值问题中发挥了重要的作用，起到了事半功倍的效果.练习：1. 请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）于是底面正六边形的面积为（单位：m2）帐篷的体积为（单位：m3）求导数，得令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.当1x2时，,V(x)为增函数；当2x4时，,V(x)为减函数。所以当x=2时,V(x)最大。答当OO1
7、为2m时，帐篷的体积最大。说明：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.2.如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（），且，点到平面的距离（km）沿山脚原有一段笔直的公路可供利用从点到山脚修路的造价为万元/km，原有公路改建费用为万元/km当山坡上公路长度为km（）时，其造价为万元已知，（I）在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小；（II） 对于（I）中得到的点，在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小（III）在上是否存在两个不同的点，使沿折线修建公路的总造价小于（I
8、I）中得到的最小总造价，证明你的结论解：（I）如图，由三垂线定理逆定理知，所以是山坡与所成二面角的平面角，则，设，则记总造价为万元，据题设有.当，即时，总造价最小（II）设，总造价为万元，根据题设有则，由，得当时，在内是减函数；当时，在内是增函数故当，即（km）时总造价最小，且最小总造价为万元（III）不存在这样的点，事实上，在上任取不同的两点，为使总造价最小，显然不能位于 与 之间故可设位于与之间，且=，总造价为万元，则类似于（I）、（II）讨论知，当且仅当，同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时，取得最小值，点分别与点重合，所以不存在这样的点 ，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价说明：本题为立体几何知识、函数有关知识和不等式的有关知识综合的问题，也很有新意.同样是建立函数关系，利用导数的有关知识、函数的有关知识和不等式的有关知识来解决.
