《2024年新高考数学一轮复习专题20 概率、随机变量与分布列（原卷版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年新高考数学一轮复习专题20 概率、随机变量与分布列（原卷版）（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题20 概率、随机变量与分布列一、知识速览二、考点速览知识点1 随机事件的概率与古典概型1、事件的相关概念2、频率与概率的关系（1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率3、事件的关系与运算（1）包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事
2、件），记作或者（2）相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等（3）并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）（4）交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）（5）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥；如果，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，彼此互斥（6）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为4、概率的基本性质（1）对于任意事件都有：（2）
3、必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即（3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则推广：一般地，若事件，彼此互斥，则事件发生（即，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：（4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，且（5）概率的单调性：若，则（6）若，是一次随机实验中的两个事件，则5、古典概型（1）古典概型的定义：一般地，若试验具有以下特征：有限性：样本空间的样本点只有有限个；等可能性：每个样本点发生的可能性相等称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型2、古典概型的概率公式：一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，
4、则定义事件的概率知识点2 相互独立事件与条件概率、全概率1、相互独立事件（1）相互独立事件的概念对于两个事件，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率设，根据条件概率的计算公式，从而由此可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立（2）概率的乘法公式：由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则我们称上式为概率的乘法公式（3）相互独立事件的性质：如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立（4）两个事件的相互独立性的推广：两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，相互独立，则这个事件同时发生的概率2、条件概率（1）条件概率的定义：一般地，设，为两个事件，且，称为在事
5、件发生的条件下，事件发生的条件概率（2）条件概率的性质条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为如果与互斥，则3、全概率公式（1）全概率公式：；（2）若样本空间中的事件，满足：任意两个事件均互斥，即，；，则对中的任意事件，都有，且4、贝叶斯公式（1）一般地，当且时，有（2）定理若样本空间中的事件满足：任意两个事件均互斥，即，；，则对中的任意概率非零的事件，都有，且知识点3 随机变量的分布列、均值与方差1、随机变量的有关概念（1）随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，表示（2）离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随
6、机变量2、离散型随机变量分布列（1）离散型随机变量分布列的表示：一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列（2）分布列的性质：（1），；（2）3、离散型随机变量的均值与方差：（1）均值：为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平（2）均值的性质（为常数）若，其中为常数，则也是随机变量，且如果相互独立，则（3）方差：为随机变量的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称其算术平方根为随机变量的标准差（4）方差的性质若，其中为
7、常数，则也是随机变量，且方差公式的变形：知识点4 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布1、两点分布：若随机变量X的分布列具有下表的形式，则称X服从两点分布，并称pP(X1)为成功概率X01P1pp2、二项分布（1）次独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验【注意】独立重复试验的条件：每次试验在同样条件下进行；各次试验是相互独立的；每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生（2）二项分布的表示：一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，），于是得到的分布列由于表中第二行恰好是二
8、项式展开式各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率（3）二项分布的期望、方差：若，则，3、超几何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，1，2，其中，且，称分布列为超几何分布列如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布014、正态曲线与正态分布（1）正态曲线：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线正态曲线呈钟形，即中间高，两边低（2）正态曲线的性质曲线位于轴上方，与轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线对称；曲线在处达到峰值（最大值）；曲线与轴之间的面积为1；
9、当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移；当一定时，曲线的形状由确定越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，（3）正态分布：一般地，如果对于任何实数，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作如果随机变量服从正态分布，则记为其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计（4）原则若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概
10、率越大特别地，有；由，知正态总体几乎总取值于区间之内而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则一、随机事件的频率与概率1、频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值2、随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率【典例1】（2023全国高三对口高考）下列说法：设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有
11、10件次品；做100次抛硬币的试验，有51次出现正面.因此出现正面的概率是0.51；随机事件A的概率是频率的稳定值；随机事件A的概率趋近于0，即趋近于0，则A是不可能事件；抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是；随机事件的频率就是这个事件发生的概率；其中正确的有 .【典例2】（2021上四川成都高三石室中学校考开学考试）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了40次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）A0.4，0.4 B0.5，0.5 C0.4，0.5 D0.5，0.4二、判断互斥、对立事件的两种方法（1）定义法：判断互
12、斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件（2）集合法：由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集【典例1】（2023四川宜宾统考三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（ ）A事件1与事件3互斥 B事件1与事件2互为对立事件C事件2与事件3互斥 D事件3与事件4互
13、为对立事件【典例2】（2023湖南高三校联考二模）随着2022年卡塔尔世界杯的举办，中国足球也需要重视足球教育某市为提升学生的足球水平，特地在当地选拔出几所学校作为足球特色学校，开设了“5人制”“7人制”“9人制”“11人制”四类足球体验课程甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件“甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件“甲乙两人所选课程完全不同”，事件“甲乙两人均未选择5人制课程”，则（ ）AA与为对立事件 BA与互斥 CA与相互独立 D与相互独立三、复杂事件的概率的两种求法（1）直接求法，将所求事件分解为一些彼此互斥的事件，运用互斥事件的概率求和公式计算（2）间接求法，先求此事件的
14、对立事件的概率，再用公式P(A)1P()求解(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就比较简便【典例1】（2023上山西大同高三统考阶段练习）已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示.能听到声音，当且仅当A与B至少有一个正常工作，C正常工作，D与E中至少有一个正常工作.则听不到声音的概率为（ ）A0.19738 B0.00018 C0.01092 D0.09828【典例2】（2023下四川眉山高三校考开学考试）一个盒子内装有若干个大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么从盒中摸出1个球，摸出黑球或红球的概率是 【典例3】（2024上内蒙古赤峰高三统考开学考试）位于数轴上的粒子A每次向左或向右移动一个单位长度，若前一次向左移动一个单位长度，则后一次向右
