《二项分布为背景的概率模型（解析版）-高考数学二轮复习专题训练（全国通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二项分布为背景的概率模型（解析版）-高考数学二轮复习专题训练（全国通用）（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二项分布为背景的概率模型 思路引导求二项分布为背景的概率模型的解题思路：第一步：根据题意设出随机变量.第二步：分析随机变量服从二项分布.第三步：找到参数n，p.第四步：写出二项分布的概率表达式.第五步：求解相关概率.【易错提醒】二项分布与超几何分布的关系在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布区别当这n次试验是n重伯努利试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；当n次试验不是n重伯努利试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布联系在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布如本例(3) 母题呈现【典例】（2022陕西高三模拟）每
2、年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”()求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；()以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”的人数,求的分布列及【解题指导】()先计算人都认为不很幸福的概率再有对立事件就概率；()确定二项分步的可能的取值列出分布列求出期望【解析】()设事件抽出的人至少有人是“很幸福”的，
3、则表示人都认为不很幸福()根据题意，随机变量，的可能的取值为；所以随机变量的分布列为：所以的期望方法总结二项分布的均值与方差.(1)如果B(n，p)，则用公式E()np；D()np(1p)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(ab)aE()b以及E()np求出E(ab)，同样还可求出D(ab). 模拟训练1【与五育并举融合】2023年亚运会在中国杭州举办，开幕式门票与其他赛事门票在网上开始预定，亚奥理事会规定：开幕式门票分为A、B两档，当预定A档未成功时，系统自动进入B档预定，已知获得A档门票的概率是，若
4、未成功，仍有的概率获得B档门票的机会；而成功获得其他赛事门票的概率均为，且获得每张门票之间互不影响甲预定了一张A档开幕式门票，一张赛事门票；乙预定了两张赛事门票(1)求甲乙两人都没有获得任何门票的概率；(2)求乙获得的门票数比甲多的概率【答案】(1)；(2)【分析】（1）设甲、乙获得的门票数分别为、，分别求、的分布列，进而可得结果；（2）“乙获得的门票数比甲多”有3种可能、和，结合（1）中的数据运算求解.【详解】（1）由题意可得：预定一张开幕式门票不成功的概率，成功的概率为，设甲获得的门票数为，则的可能取值为，故，故的分布列为：012设乙获得的门票数为，则，故，故的分布列为：012故甲乙两人都
5、没有获得任何门票的概率.（2）由（1）可得：乙获得的门票数比甲多的概率.2【与频率分布直方图融合】为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间110，120），120，130），130，140的频率之比为4：2：1.(1)根据频率分布直方图求学生成绩在区间110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数(2)若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在100，130）内的学生人数为，求的
6、分布列与数学期望.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根据频率分布直方图求出数学成绩落在区间内的频率，再根据数学成绩落在区间110，120），120，130），130，140的频率之比为4：2：1可求出数学成绩落在区间110，120）的频率；根据中位数公式可求出中位数；（2）先求出数学成绩落在区间100，130）内的频率为，再根据二项分布可求出分布列和数学期望.【详解】（1）由直方图可知，数学成绩落在区间内的频率为,所以数学成绩落在区间内的频率为，因为数学成绩落在区间110，120），120，130），130，140的频率之比为4：2：1，所以数学成绩落在区间110，120）的频率为，数学成
7、绩落在区间70，100）的频率为，所以中位数落在区间内，设中位数为，则，解得，所以抽取的这100名同学数学成绩的中位数为.（2）由（1）知，数学成绩落在区间100，130）内的频率为，由题意可知，的所有可能取值为，所以的分布列为：0123所以数学期望.3【决策问题】某学校在50年校庆到来之际，举行了一次趣味运动项目比赛，比赛由传统运动项目和新增运动项目组成，每位参赛运动员共需要完成3个运动项目对于每一个传统运动项目，若没有完成，得0分，若完成了，得30分对于新增运动项目，若没有完成，得0分，若只完成了1个，得40分，若完成了2个，得90分最后得分越多者，获得的资金越多现有两种参赛的方案供运动员
8、选择方案一：只参加3个传统运动项目方案二：先参加1个传统运动项目，再参加2个新增运动项目已知甲、乙两位运动员能完成每个传统项目的概率为，能完成每个新增运动项目的概率均为，且甲、乙参加的每个运动项目是否能完成相互独立(1)若运动员甲选择方案一，求甲得分不低于60分的概率(2)若以最后得分的数学期望为依据，请问运动员乙应该选择方案一还是方案二？说明你的理由【答案】(1)；(2)运动员乙应该选择方案一；理由见解析【分析】（1）甲得分不低于60分等价甲至少要完成2项传统运动项目；（2）方案一服从二项分布从而可求数学期望，再由方案二得分的分布列求得数学期望，比较两个期望的大小.【详解】（1）运动员甲选择
9、方案一，若甲得分不低于60分，则甲至少要完成2项传统运动项目，故甲得分不低于60分的概率（2）若乙选择方案一，则乙完成的运动项目的个数，所以乙最后得分的数学期望为若乙选择方案二，则乙得分Y的可能为取值为0，30，40，70，90，120，所以Y的数学期，因为，所以运动员乙应该选择方案一4【与数列融合】近两年因为疫情的原因，线上教学越来越普遍了为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注
10、度监测有的同学能够正常完成签到为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分请回答如下两个问题：(1)若一节课老师会进行3次专注度监测，那么某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？(2)记某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为分的概率为（比如：表示累计得分为分的概率，表示累计得分为的概率），求：的通项公式；的通项公式【答案】(1)；(2)；.【分析】（1）根据二项分布的期望求解，求得三次监测中完成签到次数的数学期望，再求结果即可；（2）求得的递推关系，结
11、合等比数列的通项公式，即可求得；再结合累加法，以及等比数列前项和公式，即可求得.【详解】（1）设某班同学在3次专注度监测中完成签到的次数为，由题可知，故，设某班同学3次专注度监测的总得分为，根据题意，故.故某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是.（2）由题可知，根据题意，故可得故数列为首项，公比为的等比数列，则.根据上式可得，则，故的通项公式.5【与独立性检验融合】某核酸检测机构为了提高核酸检测效率，对核酸检测设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：小时）数据，整理如下：改造前：141，140，146，127，147，159
12、，136，162，140，126，178，134，125，139，121，178，128，138，129，142；改造后：145，136，127，148，156，172，169，121，172，182，181，124，147，181，140，175，156，132，115，137.(1)完成下面的列联表，并判是否有90%以上的把握认为判断技术改造前后的连续正常运行时间有差异?技术改造设备连续正常运行小时合计超过144不超过144改造前改造后合计(2)核酸检测机构的检测设备的运行需要进行维护，核酸检测机构对检测设备的维护费用包括正常维护费和额外维护费两种，对检测设备设定维护周期为144小时（开机
13、运行144小时内检测一次）进行维护，检测设备在一个月内（720小时）设5个维护周期，每个维护周期相互独立在一个维护周期内，若检测设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生额外维护费；若检测设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生额外维护费，经测算，正常维护费为0.56万元/次，额外维护费第一次为0.22万元/周期，此后每增加一次则额外维护费增加0.22万元.已知检测设备在技术改造后一个周期内能连续正常运行的概率为，求一个月内维护费的分布列及均值.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（其中）【答案】(1)列联表答案见
14、解析，有以上的把握认为判断技术改造前后的连续正常运行时间有差异.(2)分布列答案见解析，均值为万元【分析】（1）根据题意，补全列联表，代入公式计算结果，对照表格，判断得答案；（2）首先判断一个维护周期内，检测设备需要额外维护费的概率为，设一个月内需额外维护的次数为，则服从二项分布，再根据题意找到与一个月的维护费的关系，计算的可能取值，依次计算其概率得分布列，计算分布列的期望，得答案.【详解】（1）列联表为：技术改造设备连续正常运行小时合计超过144不超过144改造前14620改造后81220合计221840易知：，所以有以上的把握认为判断技术改造前后的连续正常运行时间有差异.（2）已知，一个月内设有个维护周期，一个周期内能连续正常运行的概率为，即需要额外维护费的概率为，设一个月内需额外维护的次数为，则，一个月内的正常维护费为，额外维护费为万元.所以一个月内需额外维护次数为时需要的维护费为万元，设一个月内的维护费为，则的所有可能取值为，；所以，的分布列为2.83
