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1、2023年全国探讨生考试数农试题及答案详解一、选择题：1 U 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1 ,y=+1设曲线 eT 水平渐近线的条数为&,铅直渐近线的条数为匕，则()(&)a =0 8=1(B)a=1 8=0 9)a =1 b=1 )a =2 b=-1 设 连 续 函 数/满 足 石1()虫=4疮，则/的一个原函数歹(=()(A)(x+1)尸 -(x+1)尸 (x-W设数列，4 单调噌加，%=S,(A)充分非必要条件(O 充分必要条件$T(”=2,3,)，则 数 列 国，有界是数列口，收敛的(B)
2、必要非充分条件(D)既非充分也非必要条件)设函Q(“)连续，交换二次积分次序A-2 见,X 加加+L,3 呵4 x私y)d y则下列向量组线性相关的为()(A)(B)(0f d y7 a y)d x(D),0 (0、p、%=0%=1%=一 设,I(A)%,%,%,a2,a4(C)i,j：d y f(x，y)2 4.的蔺单随机样本，则 统 计 壁 病7W 的分布为曾心,2),。/(D)9Q,2)二、填空题：9 U 14小题,每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.3lim +X i=(9)X(10)函数J =?，2 1 n x 1 1的极值点X=(11)曲线y=g与 x=4 及 y=
3、围成的平面图形绕X轴旋转一周得到的旋转的体积历龙“冗 _开、_(12)设函数2=胸 皿 “，贝 IJ85 5(1 n月=(13)设(T 2人4 是A的伴随矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B,贝=P(A)=1 P(B)=W 川诙=(14)设儿&是两个互不相容的随机事件，设 2,3,则 I三、解答题：1523小题，共94分.请格解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求曲线cos，/，+l nx,=x+1在点，0，处的切线方程.|(16)(本题满分10分)设函数 X111 a xi L-H,求不定积分3工也(17)(本题满分1 0 分)X +
4、求 函 数 ，=庇2的极值(18)(本题满分n分)y -=nx I求微分方程 xlnx 满足条件力x-e 的解.(19)(本题满分11分)|3/+2 y idxdy计售二重积分i，其中。由直线x=一兀x=兀丁=2 及曲线y=sin x围成.（20）（本题满分1 1分）000、0 10设（a 0 0 1J,1 O）（1）计算行列式I ；（2）当实数。为何值时，方程组力*=有无穷多解，并求其通解.（21）（本题满分10分）a-1-1 01 b5-1l 1 1为月的属于特征值-2的特征向量（1）求4危的值;（2）求可逆矩阵尸和对角矩阵Q,使得尸-*=Q.（22）（本题满分10分）设随机变量X服从参数
5、为A 4 U，的指数分布，且 2,（I）求参数才；2012年全国硕士研究生入学统一考试数农答案解析一、选抨题:1U 8 小题,每小题4 分，共 32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请珞所选项前的字母填在着厚纸指定位置上(1)设曲线 =一+1 水平渐近线的条数为。，铅直渐近线的条数为人则()e-1(A)。=0,5=1(B)a=1,b=0(C)a =l,i =l (D)a=2,h =-l【答案】(D)【解析】y=-7-+1,由l i m y 二 QO,X=0 为铅直渐近线，由 l i m v =l,l i m y =-l +l =0,e -I x-*o为=1,尸=0 为水
6、平渐近线，故a=2,b=l设连续函数/(X)满足，/(，)d/=4x e=*,则/(X)的一个原函数尸(x)=()(A)(x+1-*(B)-(x+l*(C)(D)-(r-l *【答案】B【解析】两边求导，则有/(2幻 2=4/可 化 简 为=讨论/(幻是否等于/(*).月选项：(*+1族 j 错误:-(x +1)e*=-e 1 (x +l)+i=e *x 正确C.e *(x-D=e-*l-x+l=e *(2-x)错误。:卜(x 卜7 =，*-1-1)%-5-2)借误 设数列阻 单调增加，4=，a”=S”-S“T(=2,3“)，则数列 S.有界是数列 收敛的()(A)充分非必要条件(B)必要非充
7、分条件(C)充分必要条件)既非充分也非必要条件【答案】(B)【解析】因为4 0,所以 S.单调不减.若 有界，则 强 存 在，则=理(S -S”T)=，即数列$”有界是数列 收敛的充分条件.反之，若 也 收敛,则 不一定有界.例如，取*=L 则 收 敛，且S”=”无上界.故选.设函数/(x,y)连续，交换二次积分次序f 0,有两个不同的特征值，故C 可以相似对角化；。是秩为1 的矩阵，特征值为3.0,故。可以相似对角化;2而乂的特征值为4 =4 =1，对应的线性无关特征向量只有|：|，故/不可以相似对角化.设随机变量x与y相互独立，且都服从区间(o,i)上的均匀分布，则 户 +片，1 =()(
8、A)，！(C)(D)-4 2 8 4【答案】D【解析】X与，的概率密度函数分别为,1,0 4 x 4 1 f l,0 y l&(*)=A 0,其他 0,其他又X与F相互独立，所以X与 的联合密度函数为1 0$k y W 1/(总)=/。)-0 0 =一 ；一，从而0,其他P-Y2+r2 0)的简单随机样 本.则统 计 量 二 工；的分布为(A)N(0,2)(B)1(2)【答案】(B)(C)/(D)F(2,2)【解析】屈 口川(2)，占口 N(0,b)名 口 N(0,/),匕 口 N(0,),且他们之间相 互 独 立，二 乂-占 口 N(0,2/),从 而 耳 士 口 N(0,l),7一 口(0
9、,1),J2b 2 Y/Ng)，即 A _ L=口 “2)3二、填空题：9U 14小题,每小题4分，共24分.请将答案写在谷耀年指定位置上.3(9)吧(0*+力=.【答案】/【解析】+x)；=lime，叫=lime3,=/巴 丁 =/(10)函数y=x2(21nx-l)的极值点 =【答案】1.【解析】由y=/(2 1 n x-l),得y=2x(21nx-卜 4 xln x,再由 4xln*=0,得x=l,y-41nx+4,y(l)=4 0,；.R=1 为极值点.(ID 曲线y=与x=4 及y=0 围成的平面图形绕x 轴旋转一周得到的旋转的体积/二.【答案】9n2【解析】图形如图所示，曲线写为y
10、=J T T,(14x44)旋转体/=7T(Jx-I=小=2 7 T 2(12)设函数2=岬近”力，则 当 I,砂*4【答案】?2【解析】=万/代”sin(x-dy=-xe由cos(x-y)-Idy(那n 皿.n n、n=e 2 2 cost+)=2 2 2 2(1 1 A(13)设 7)=+|在点(0,1)处的切线方程.【解析】方程两边关于x 同时求导，得-s in g 力 2号+。+-(_/-1)=1,将x=0,y%y=l 代入上式，得y 四)=2,所以切线方程为1y-1=2(*-0),即2 x-1y+1=05(16)(本题满分10分)设函数/(x)=max，,./,/,求不定枳分A3,X
11、1,【解析】因为/(jr)=max|l,A-2,x31.所以/(x)=1,-l x 1,A-2,X-1.所以，当“21 时/(x)=J/(x)dx=Jx 3dA,=+G；当-1 x 1 时，尸(x)=J/(x)dx=Jklr=x+C2；当-1 时,尸(k)=j/(x)dx=J/小=g*3+G由原函数的连续性，可知liniF()=lim(x),即：+=&+1，lim 产(x)=lim F(x),即 C2-1 =C3-LX+l+X+33 2由(2)得 G=c?+7 G=。2一 三.所以，F（x）=2dxdy/.A =a1，dx2(1,0)=-2 e 2B=01(1,0)c=|=-3Oy2|(i,o
12、)A C-B2=2e 0 又力 0 又月 0.(-L 0)为极小值点，/(一L 0)=-)1为极小值.(1 8)(本题满分1 1分)求 微 分 方 程-j=l n x满足条件3 j=e的解.xlnx【解析】因为y-一匕一 =ln x,由通解的公式可得xl nxf-!dxCxln xj l nx-e x h x d r +C二 产 J ln K”n&+c=x+C l nx又因为*=e时，y =e,代入可得C=0,因此解为y =xl nN7e 、-4X2(1-?X-2X)广(x)=-(-1-x2)4-+smx16x(1-x2)(1-x2)4+sinx当x 0,1)时 广(x)2 0,从而广(x)单
13、调递增，则厂(x)2/(0)=2 0,x e。1),所 以/(x)单 调 递 增，即/,(x)/(0)=0,xe0,l)，所 以 当x 0,l)时,/(x)单 调 递 增，即/(幻2/(0)=0/0,1).所以当时，/(幻20,即xln+cosxzl+1-x 2(2D(本题满分10分)设 4=-1T、a=-1为4的属于特征值-2的特征向量.(D求a)的值:(II)求可逆矩阵尸和对角矩阵。，使得P AP=Q.a-1【解析】(I)由题意可知/a =-2 a,即 一I 0J b1-1、1 =-2-1oj I I整理得 ,解得a=0,6=l.-1-o=-2(II)|A-J|=0-11 -1=(2-1)
14、1 2-1-10-1=(”1)+2)=0,得x的特征值为4=4 =i，4 =-2.(一/)*=0的基础解系为%=-1,%=0oj U,9（23）（本题满分II分）设二维离散型随机变量X、丫的概率分布为X01204041013021120112 求 PX=2丫 ：(Hcov(x-y,y).【解析】(1 )尸 矛=2丫 =尸 X =O J =0 +尸 X =2,y=l=；+0=：(II)X的概率分布为X012P236故 E（X）=o i+i d+2ti=三,2 3 6 3X T 的概率分布为XY0124P7T730117故 E Q T)=0 C 4+昂 +2 0 +4 d =212 3 12 3Y的概率分布为X012p_333故(丫)=咤+1 4+2 4=1,11从而，（r2）=o2i+i2i i+22i=-.z）（r）=（r2）-（r）2=-i=,3 3 3 3 3 3故 c o v（x-r,r）=c o v（x ,r）-c o v（r,r）=（r）-（x）（r）-z）（r）=-i i-=-.3 3 3 3
