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1、图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.（1）设ADx(xa)，EDy，求用x表乙两楼的高分别是（）4033C10(32)m,203mD,m解：A（3）一只汽球在2250m的高空飞inCcosCsinAcosA，即sin2Bsin2C2sinAcosA，2sin(BC)AC的中线上.变式训练3：水渠道断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为h，梯形面积为S，为了使渠道的渗水解三角形（3 ）在 ABC1665中，已知cos A5665sin B 13 ，16655 D 65 655 ，则cos C 的值为（ ）AB考纲导读（一）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些
2、简单的三角形度量问题.(二) 应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.知识网络高考导航正弦定理解三角形测量实习余弦定理余弦定理的变形 形式正弦定理的变形 形式解 三 角 形应用举例正弦定理、 余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力 以化简、 求值或判断三角形的形 状为主解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明第 1 课时 三角形中的有关问题基础过关典型例题变式训练 1：(1) ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a、b、c 成等比数列，且c 2a ，则 cos B （ ）1A 43B 42C 42D 3解： B 提示：
3、利用余弦定理（2 ）在 ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）A. b 20, A 450 ,C 800 B. a 30,c 28, B 600C. a 14,b 16, A 450 D. a 12,c 15, A 1200解： C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知 大角求小角，则只有一解356 16C 或B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙，望见小岛B在北偏东75，航行8海里到达C处，望见小岛B在北端东60。若此舰不改变舰行18如图点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？解
4、：设AOB，在AOB中，由余弦定理得：因为0四边形OA直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：VABC sin A sin B sin Cmax解： 0 a 2 提示：由 可得a b c解： 提示：由面积公式可求得c 4 ，由余弦定理可求得 a 13A B C4124R2 4R2 2R .a2 b2 c2 12ab 2（2）S= absinC= ab=2 3 sinAsinB=2 3 sinAsin（120 A）解： A 提示:在ABC 中，由sin A sin B A B 知角 B 为锐角（4 ）若钝角三角形三边长为 a 1 、a
5、2 、a 3 ，则 a 的取值范围是(a 1) (a 2) a 3(a 1)2 (a 2)2 (a 3)2（5 ）在 ABC 中， A 600 ,b 1,S 3,则 =2 393例 3. 已知在ABC 中， sinA(sinB cosB) sinC0，sinBcos2C 0，求角 A、B、C 解：由 sinA(sinB cosB) sinC0，得 sinAsinB sinAcosB sin(A B) 0，所以 sinB(sinA cosA) 0B (0, ),sinB0, cosA sinA ，由 A (0, 知 A 从而 BC 3 ，由 sinB4 4cos2C 0 得 sinB cos2(
6、 3 B) 04cos( 3 2B) cos2 ( 2B) cos( 2B) sin2B2 2 2得 sinBsin2B0，亦即 sinB 2sinBcosB 0，由此各 cosB 1 ，B ，C 52 3 1253变式训练 3：已知ABC 中， 2 2（sin2Asin2C）=（ab） sinB，ABC 外接圆半径为 2 .（ 1 ）求 C；（2 ）求 ABC 面积的最大值.解：（ 1）由 2 2 （sin2Asin2C）=（ab） sinB 得2 2 （ a 2 c2 ）=（ab） b又R= 2 ，a2c2=abb2. a2+b2c2=ab. cosC= = .又0 C 180， C=60
7、.1 1 32 2 2=2 3 sinA（sin120cosA cos120sinA ）=3sinAcosA+ 3 sin2A3= sin2A 23 3cos2A+ =2 2当 2A=120， 即 A=60时，小结归纳3 sinS =（2A30） +3 3.23.2C5sin1500sinEACsinCEC5x在ABC中，由正弦定理得：BCsin1200ABsiinCcosCsinAcosA，即sin2Bsin2C2sinAcosA，2sin(BC)，c33，B30，则a14在ABC中，ab12A60，B45，则a，b三、解答题15ABC7.D.8.B9A10.D1b1262415在ABC中，
8、BAD150o60o90o，AA 20 3m, m B 10 3m,20 3mA 的航行速度为 25 nmi/h ，B 的速度是 A 的 过三小时后， A、B 的距离是 (5) 货轮在海上以 40km/h 的速度由 B 到 C 航行，15 3 20 3m2 3第 2 课时 应用性问题基础过关1三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等）； 正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有： 测量距离问题、 测量高度问题、 测量角度 问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；实际问题中有关术语、名称（ 1 ）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方
9、的角叫仰 角；在水平视线下方的角叫俯角（2 ）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角典型例题例 1(1)某人朝正东方走x km 后，向左转 1500 ，然后朝新方向走 3km ，结果它离出发点恰好3 km，那么 x 等于 （ ）（A） 3 （B）2 3 （C） 3 或 2 3 （D）3解： C 提示：利用余弦定理（2 ）甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为600 ，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为300 ，则甲、乙两楼的高分别是 （ ）40 33C 10( 32)m,20 3mD , m解： A（3 ）一只汽球在2250m 的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上 A 点处的俯
10、 角为180 ，汽球向前飞行了2000m后， 又测得 A 点处的俯角为820 ，则山的高度为（ ）A 1988m B 2096m C 3125m D 2451m解： B（4）已知轮船 A 和轮船 B 同时离开 C 岛，A 向北偏东250 方向， B 向西偏北200 方向， 若35 ，解： 90.8 nmi航向为方位角 NBC 1400 ，A 处有灯塔，其方位角 NBA 1100 ，在 C 处观测灯塔 A 的C图220如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A.b20,A450,C800B.a30,c28,
11、B600：如图A150DBC450ACB300，AB=180km（千米）/h（小时）420s（秒）=21乙两楼的高分别是（）4033C10(32)m,203mD,m解：A（3）一只汽球在2250m的高空飞20sin12010 7210BA 2010C若在时刻 t 城市 O 受到台风的侵袭,则OQ 10t 60方位角 MCA 350 ，由 B 到 C 需航行半小时，则 C 到灯塔 A 的距离是解： 10( 6 2) km 提示：由题意知 BCA 750 ，利用余弦定理或解直角三角形可得 变式训练 1：如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救甲船
12、立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ，相距 10 海里 C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援（角度精确到 1 ）？解：连接 BC, 由余弦定理得 BC2=202+1022 2010 cos120=700.北于是,BC=10 7 .sin ACB,ACB90sinACB=ACB=4137 ,乙船应朝北偏东 71方向沿直线前往 B 处救援.例 2. 在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市 O(如图)的东偏南(cos)方向 300 km 的海面 P 处， 并以 20 km / h 的速度向西偏北45 的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60 km ，并以 10 km / h 的速度不断增加，问几小 时后该城市开始受到台风的侵袭？ 持续多长时间？解： 设在时刻 t(h) 台风中心为 Q,此时台
