《高考数学理一轮复习教案：第六篇 数列第3讲 等比数列及其前n项和1高考》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学理一轮复习教案：第六篇 数列第3讲 等比数列及其前n项和1高考（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、n的通项公式；(2)若该数列前n项和Sn21，求n的值解(1)a34a169，又a1a叫做a与b的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm，(n，mNa1q3，代入数据解得q38，所以q2；等比数111)2(2n1)2n12.规范解1q1120，b1q2q212a1q1q1120.q2得a1(q1q2)(第 3 讲 等比数列及其前 n 项和【20XX 年高考会这样考】1以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定2考查通项公式、前 n 项和公式以及性质的应用 【复习指导】本讲复习时，紧扣等比数列的定义，掌握其通项公式和前 n 项和公式，求和时要注意验证公 比 q
2、 是否为 1；对等比数列的性质应用要灵活，运算中要注意方程思想的应用基础梳理1等比数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示2等比数列的通项公式设等比数列an 的首项为 a1 ，公比为 q，则它的通项 ana1 qn 1.3等比中项若 G2a b(ab0)，那么 G 叫做 a 与b 的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广： anam qnm ，(n，mN)(2)若an为等比数列，且 klmn(k，l，m，nN)，则 ak lam n.(3)若an ，bn( 项数相同)是等比数
3、列，则 0) ， a1n ，a n(2) ，an bn ， b(a)n(n) 仍是等比数 列(4)公比不为 1 的等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，则 Sn，S2nSn，S3nS2n 仍成等比数列，其公比为 qn.5等比数列的前 n 项和公式等比数列an 的公比为 q(q0)，其前 n 项和为 Sn，当 q1 时， Snna1；当 q1 时， Sna11qn1qa a q1n1q.一个推导非零常数且n2且nN*)，则an是等比数列(2)中项公式法：在数列an中，an0且a1ann2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成anb1a1b1qa1q，2b1qa1
4、qb1q2a1q1b1qa1q，b1q212ad15，解得a5.(2分)所以bn中的b3，b4，b5依次为7d,10,18d.依题意a1 1qn利用错位相减法推导等比数列的前 n 项和：Sna1 a1qa1q2 a1qn 1，同乘 q 得： qSna1qa1q2 a1q3 a1qn，两式相减得(1q)Sna1a1qn，Sn 1q (q1)两个防范(1) 由 an 1qan ，q0 并不能立即断言an为等比数列，还要验证 a1 0.(2)在运用等比数列的前 n 项和公式时， 必须注意对 q1 与 q1 分类讨论， 防止因忽略 q1这一特殊情形导致解题失误三种方法等比数列的判断方法有：(1)定义法
5、：若a a(n)n() 1q(q 为非零常数)或 q(q 为非零常数且 n2 且 nN*)，则an是等比数列(2) 中项公式法：在数列 an 中， an 0 且 a n(2)1an n2(nN*)，则数列 an是等比数列(3) 通项公式法：若数列通项公式可写成 anc qn(c，q 均是不为 0 的常数， nN*)，则an是等 比数列注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列双基自测1(人教 A 版教材习题改编)在等比数列an 中，如果公比 q 1，那么等比数列an是( )A递增数列 B递减数列C常数列 D无法确定数列的增减性 解析 当 a10,0q 1，数列an为递减数列，当 q 0，数列
6、an为摆动数列答案 D化条件，以及利用等差、等比数列的相关知识解决.【示例】(本题满分12分)(2011湖北)成等差数列，式两边同乘d1得(d1)Snd2(d1)2(d1)2(n1)(d1)n叫做a与b的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm，(n，mN或q21，这时(b2a2)(b1a1)0，与公差不为0矛盾综上所述，不存在两个等比数列161S21q2 14解析 设an 的公差为 d，由 S9S4 及 a11，得 9 1 2 d4 1 2 d，所以 d6.A D. 2已知an是等比数列， a22，a54，则公比 q 等于( )12B 2C212解析 由题意知： q3
7、a5a2 8(1)，q 2(1) .答案 D3在等比数列an 中， a44，则 a2 6 等于( )A4 B8 C16 D32解析 由等比数列的性质得： a2a6a 4(2) 16.答案 C4设 Sn 为等比数列an 的前 n 项和， 8a2 a50，则S5( )A 11 B 8 C5 D11解析 设等比数列的首项为 a1 ，公比为 q.因为 8a2 a50，所以 8a1qa1q40. q3 80，q2，S a1 1q5 1q S2 1q a1 1q25 1q5 1 2 5 11.答案 A5(2011 广东)等差数列an前 9 项的和等于前 4 项的和 若 a11，aka40，则 k_.9 8
8、 4 3 1又 aka40，所以 1 k1 答案 1016 1 41 0，即 k10.考向一 等比数列基本量的计算【例 1】 (2011 全国)设等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，已知 a26,6a1 a330.求 an 和 Sn.审题视点 列方程组求首项 a1 和公差 d.21，这时(b2a2)(b1a1)0，与公差不为0矛盾)当q11时，由得b10为12，求再后面3n项的和审题视点利用等比数列的性质：依次n项的和成等比数列解Sn2，其2)问解答示范(1)解设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad.依题意，得adaaan，bn的通项公式；若不存在，说明理由尝试解答(1)设an的公比为
9、q，则b11na1，n，q，【训练 1】 等比数列an满足： a1 a611，a3 4，且公比 q(0,1) 32故 a1 ，a6 看作方程 x211x0 的两根，3213 ，a6 q51 1132， q 32 1 13 1n 1 23 n6. 2(2) 由(1)知 Sn6421，解得 n6.考向二1n等比数列的判定或证明【例 2】 (2012 长沙模拟)已知数列an满足 a11，a22，an2an an12 整理可证；第(2) 问可用叠加法求an.b1a2a11.解 设an 的公比为 q，由题设得a1q6，6a1 a1q230，解得a13， q2或a12， q3.当 a13，q2 时， an
10、3 n当 a12，q3 时， an2 n1 ，Sn3 (2n1)；1 ，S 3n1. 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量an ，Sn 一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解329(1) 求数列an 的通项公式；(2) 若该数列前 n 项和 Sn21 ，求 n 的值解 (1) a3 4a1 6 9 ，又 a1 a611，329又 q(0,1) a1 3，a6a 2 ，an13 22 ，nN*.(1)令 bnan1an，证明： bn是等比数列；(2)求an 的通项公式an1 an审题视点 第(1)问把 bnan 1an 中 an1 换为(1)证明列为等比数列双
11、基自测1(人教A版教材习题改编)在等比数列an中，如果公比q1，那么等比数列(a2a1)(a3a2)(anan1)1121221112n个正数，利用等比数列的性质解出公差d，从而求出数列bn的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(a1q3，代入数据解得q38，所以q2；等比数111)2(2n1)2n12.规范解1 3 2bn是以 1 为首项， 2为公比的等比数列111 n 1 1 1 n 12an332 3 12 1，【训练 2】 (2011四川)设 d 为非零实数， annC n(1)d2C n(2)d2 (n1)C n(n) 1dn 1 nC n(n)dn(nN*)当 n2，k1 时， nC n(k) C n(k)()1(1)，因此当 n2 时， bnan1an an 2(1)(anan 1) 2(1)bn 1，1(2)解 由(1)知 bnan1an 2 n 1，当 n2 时， ana1 (a2 a1)(a3 a2)(an an 1) 1 1 2 12 2 11 12n2 15 2 1 33 2当 n 1 时，
