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1、3）内有唯一解，知y与y的图象只有一个公共点，可见m的取值范围是1m0或m1。例4已知u1，v1且强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短夹角、弦长问题，往往要转化为点到线的距离问题来解决。例8（1）(2011上海22)已知平面上的线段的知识平台。5在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数【专题一】数形结合思想【考情分析】在高考题中，数形结合的题目主要出现在函数、导数、解析几何及不等式最值等综合性题目上，把图 象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点
2、的多是填空 小题。从近三年新课标高考卷来看，涉及数形结合的题目略少，预测 2012 年可能有所加强。因为对数形结 合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能 的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。1数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究 图形的性质，是一种重要的数学思想方法。 它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。“数缺形时 少直观，形少数时难入微”， 利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。2数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识 的
3、基础上， 注重对数学思想思想方法的考查， 注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法， 可以有效提升思维品质和数学技能。3“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结 合”， 用好数形结合的思想方法， 需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好 数形结合思想打下坚实的知识基础。4函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”， 而解析几何的方程、 斜率、距离公式，向量的坐标表示则是 “以数助形”， 还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提 供了 “数形结合”的知识平台。5在数学学习和解题过程中，要善于
4、运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案， 养成数 形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。 用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千 般好，数形分离万事休”。纵观多年来的高考试题， 巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的 效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。【知识交汇】数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形： 一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系， 即以形作为手段，数作为目的， 比如应用函数的图象 来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性， 即以数作为手
5、段， 形作为目的， 如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质 。应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；系。例2（1）（2011陕西理3）设函数的图像是（）f(x)（xR）满足f(x)f(x)，f(x2借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式
6、的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于想、分类与整合思想。满分13分。解法一：（I）依题意，点P的坐标为（0，m）8.m所以直线l的方程分，6分，8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。A(1,3),B(1,0),(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等 常见适用数形结合的两个着力点是：以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何 方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、
7、填空题时发挥着奇特 功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注意以下 几点： (1)准确画出函数图象，注意函数的定义域； (2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数 是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作 适当调整，以便于作图) ，然后作出两个函数的图象， 由图求解这种思想方法体现在解题中，就是指在处 理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的 和谐复合， 通过对规范图形或示意图形的观察分析， 化抽象为直观，化直观为精确， 从而使问题得
8、到简捷 解决。1数形结合的途径（ 1 ）通过坐标系形题数解借助于建立直角坐标系、 复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分（在 高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）； 值得强调的是，形题数解时， 通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用， 可以大大缩短代数推理）实现数形结合，常与以下内容有关： 实数与数轴上的点的对应关系； 函数与图象的对应关系； 曲线与方程的对应关系； 以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、 三角函数等； 所 给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 如等式(x 2)2 (y 1)2 4。常见方法有：（
9、1）解析法：建立适当的坐标系 （直角坐标系， 极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。（2 ）三角法： 将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。（3）向量法： 将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。 把抽象的几 何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。（2 ）通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的几何意义， 据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将 a 0 与距离互 化，将 a2 与面积互化，将 a2+b2+ab=a2+b22 a b cos ( 60 或 120
10、) 与余弦定理沟通，将 abc 0 且 b+c a 中的 a、b、c 与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数） 和点沟通，将二元一次方程与 直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图 形（平面的或立体的）。 另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一， 正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。常见的转换途径为：（ 1）方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关 的问题。（2）利用平面向量的数量关系及模 AB 的性质来寻求代数式性质。（3）构造几何模型。 通过代数式的
11、结构分析，构造出符合代数式的几何图形， 如将a2 与正方形的面积互化，将abc 与体积互化，将 a2 c2 与勾股定理沟通等等。C|A2B22数形结合的原则（1）等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否！数形结合的关键是挖掘图形的几何属性，切忌只重数量关系忽视位置关系！如果把本题的图形随手作成如下一般在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高U1x )2 (y2 1y )2 ，点到2直线的距离d 0 0 ，直线的斜
12、率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。（4 ）利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离 (x| Ax By C |A2 B22数形结合的原则（ 1 ）等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的， 否则解题将会出现漏洞.有时， 由于图形的 局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象 而严格证明的诱导。（2 ）双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问 题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。例如，在解析几
13、何中， 我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候， 若能充分地挖 掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。（3）简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取 决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数 方法。【思想方法】题型 1：利用数轴、韦恩图解决集合与函数问题例 1（ 1）（2011 山东文 1）设集合 M =x|(x+3)(x 2)0 ，N =x|1x3,则 M N =（ ）A1,2) B1,2 C( 2,3 D2,3（2）（2011 湖南文 1）设全集UA1,2,
14、3 B1,3,5解析：（ 1）A ；解析；因为MM N 1,2,3, 4,5, M C N 2, 4, 则 N （ ） 1,4,5 2,3,4x | 3 x 2 ，所以M N x |1 x 2 ，故选 A。点评： 不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行，解题时注意验证区间端点是否符合题意。（2）B ；解析：画出韦恩图， 可知 N 1,3,5 。点评：本题主要利用数轴、韦恩图考查集合的概念和集合的关系。例 2（ 1）（2011 陕西理 3）设函数的图像是（ ）f (x)（ x R）满足 f ( x) f (x) ，f (x2) f (x)，则函数y f (x)作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解这种思想单调递增，而x2x所以xn1n点评：切线方程的斜率与函数的导数对应，建立了几何图形与函数值的对应。题线段yxtx0，y0与圆弧x12y124x0，y0相切时，截距t取最大值t222（如图3中CD位置）关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。“数缺形A ,0(1, ) B 0, )f (x) g (x) x 4,x g (x),) D9 ,0 (2, ) 4,1y1 2（2）（2010 年天津卷）设函数 g(x) x2是（ ）94
