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1、第六章定积分一本章重点定积分的基本性质，定积分的计算；变上z2.设zf(x3y3)，其中f有连续导函数，2zx2.是绝对收敛；n1nn1是否收敛，若收敛，则为条件收敛。n16齐次方程通解公式：12x31x1xcx1x2x2yep(x) xf (x)dxxx12(2) dx(1) 本题被积函数为 x ln x 且于适用分部积分的类型，= x x(ln x ) c(2). 求 dx 不能用直接积分法,也不能用令 2x 1 t ,则 x (t2 1) ,dx=tdt(凑微分)1 1 d(1 x2 )2010-2011学年（下）微积分 (高数(三)期末复习指导第五章 不定积分2 1 x2一.本章重点原
2、函数与不定积分的概念,不定积分的计算. 二.复习要求1. 理解原函数与不定积分的概念,掌握不定积分 的基本性质.2. 熟记并正确理解基本积分公式,熟练掌握不定 积分的直接积分法.3. 熟练掌握不定积分的第一换元法(凑微分法). 凑微分法的关键是要凑出适当的换元因子的微分 du (x)dx .使其在换元后可直接利用基本积分公式计算结果.4. 掌握不定积分第二换元法的原理.当被积函数 x 含有根式而不能用直接积分法及凑微分法积分时,一般要用第二换元法有理化根式,熟练掌握 x 含 n ax b 时的有理化变换.5 熟练掌握不定积分的分部积分法.熟悉常见的几 类 用 分 部 积 分 法 求 积 分 的
3、 类 型 及 其 中u(x) , dv(x) 的选择.6.掌握简单有理分式的不定积分三. 例题选解例 1.已知 f (x) 的一个原函数为arctan x ,求xf (x)dx .解: 由已知 f (x) (arctan x) 11x2 ,x1x2dx l n ( 1 x2 )c例 2 求下列不定积分(1) x ln xdx2x 1解:1 的情形,属原式= x2 ln x令u ln x , dv2 35xdx , 则du3dx v 1 2x2x , 3233x21x dx2 33= x2ln x231x2 dx2 33ln x= x24 39 x2 c2 23 3(思考:若 1,积分又如何处理
4、?)2x 1凑微分法,适用第二类换元法.12析：本题为简单的抽象函数的偏导数，可令u1yx2.由复合函对交错级数需说明是绝对收敛还是条件收敛故(23)n绝对收敛。有极小值:z(0,3)94.88.5.2(21).自我复习：2y3x例4将二次积分1dy3yf(x,y)dx交换积分00(3) dx了减少出错，要及时计算出uv的值。x2x 1dx t= 2x-1t tdt12(t2 1)2 dt 2 dtt2 t2 1 1t2 1 t2 12 dt 2 11t2dt 2t 2arctan t c回代 2 2x 1 2arctan 2x 1 c四. 练习题及答案1. 填空(1) 设ex2 cosx是
5、f (x) 的一个原函数,则 f (x) ;(2)1xsinxdx=x2 12. 求不定积分(1) 3x2 dx(2) arc sin xdx1x 2 x 1答案: 1.(1) ex2 sin x 2xex2 cos x ;(2) 2cos x c2.(1) 3x 3arctan x c(2) xarcsin x 1 x2 c(3) 2lnx 112x 1 1c自我复习: 习题五(A)7. , 8. , , , ,(14),9. , , . .10. , , . 习题五(B) 1.4.17.第六章 定积分一本章重点定积分的基本性质， 定积分的计算； 变上限定积 分的求导法；定积分在几何上的应用
6、。二复习要求1. 理解定积分的概念，知道定积分与不定积分 的区别。函数 f (x) 的不定积分是求导和求微分运算的逆运算。函数 f (x) 在 a ,b 上的定积分是一个 和式的极限，是一个确定的数，这个数只与被 积函数 f (x) 及积分区间 a ,b 有关。2. 理解并记住定积分的基本性质。3. 理解变上限定积分的概念，熟练掌握求变 上、下限定积分的导数的方法：d dxddxx f (t)dtab( x) f (t)dta ( x)ddxf (x), b f (t)dt f (x);xf b(x) b (x) f a(x) a (x).4. 熟练掌握用牛顿莱布尼兹公式求定积分 的方法。牛莱
7、公式将定积分与不定积分这两个截然不同的概念联系起来，求定积分的值，只 需求出被积函数 f (x) 的一个原函数 F (x) ，再应用牛莱公式即可。因而计算定积分也与求 不定积分类似，有直接积分法，换元积分法， 分部积分法。5. 熟练掌握定积分的换元积分法，分部积分法。 注意： .用换元法求定积分时， 换元必换限，无需 还元；若是用凑微分而不显示 “换元”， 则积分限不 作变换。 .定积分适用分部积分的类型及u 、dv 的选择都与不定积分类似， 唯一的区别是定积分的分部 积分公式中每一项都带着积分上、下限，而且为ab章重点多元函数的偏导数的计算；多元函数的极值与条件极值；二重ctanx412xa
8、rctanx0.自我复习习题六(A)4若是用凑微分而不显示“换元”，则积分限不作变换。.定积分适第六章定积分一本章重点定积分的基本性质，定积分的计算；变上2t2e 2t dt ，求 f (x) .x2 e x2解f (x2( dx0 x4 tan xdx当 x原式0时， t2 t2 1 t 1(2t22t)dt2 2 53 1 3 .22S (x )dx ( ln x) |2 ln 2x1 x4ax6. 熟记奇偶函数在对称区间上的积分的性质。7熟练掌握用定积分求平面图形的面积及平面图形 绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。三例题选解例 1. f (x)cos x：x x e x x2x5e x2
9、x x e x的体积。解： 由所给曲线方程解得交点：（ 1，1），（2，12 ），(2 ，2) .画出平面图形如下:)2 s2i2例 2. 求定积分：3 x1 1 x22解: 此积分适用第二类换元法，令t 1 x ，则 x t2 1 ，dx 2tdt1 ； x 3 时， t 2.2tdt （换元就换限）121( t3 t2 ) 积分 x4 tanxdx是奇函数在对称区间上2的积分，所以有： x4 tan xdx =0.2例 3.求 y x 1 、 y x 、 x 2 围成的平面图形的面积以及该平面图形绕 X 轴旋转一周形成的旋转体视平面图形为 X 形区域，得平面图形面积为：2 1x1x2 32
10、 1 2（2 ）求上述平面图形绕 X 轴旋转所成旋转体的体 积，应视平面图形为 X 形区域，有：Vx2 1xx2 ()2dx13x3 (1x)2111.6（注意求V 的公式与求面积的公式的区别）四练习题及参考答案1.填空 f (x) arctan tdt ，则x2f (x) =_ x2 sin3 xdx =_a2、求积分D其中D由xy1及X轴,Y轴围成.交换积分次序:1y0y=1，收敛区间为(1,1).当x=-1或x1时，原级数为n(是f(x)的一个原函数,则f(x);1x2x1答案:1.(1所包围的区域。分析与解：解：画出积分区域如下所示：由于积分区21 x1 x dx01 x1 x2n n
11、 n0，n nn 1naq1 q当 p1 时， p 级数 收敛；n 1当 p1 时， p 级数 1np发散。n nn 1n 1 情形。n(u 0) 绝nnu 收敛，则nn 1( 1 un(2) 若 u 发散，则用莱布尼兹判别法判定( 1)nunn 1 dx03、求由曲线 y sin x ，直线 y 2x 以及x 围成的平面区域 D 的面积，及区域 D 绕 X 轴旋转一 周而成的旋转体的体积。答案： 1、 3x3 arctan x4 1 2x arctan x 0.43、 1; 2、 2(1 ) ；2412 .4 ln 226 4 .自我复习习题六 (A) 4. ，； 5.(10) 、(11) ； 6.（ 1）、； 12.(1) 、(2) ；.21.(1) 、 . （并求平面图形绕 X 轴旋转而成的旋转 体体积）。第七章 无穷级数一本章重点数项级数收敛性的判定(包括正项级数的收 敛性判定；交错级数的绝对收敛与条件收敛的判 定)。幂级数的收敛
