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1、58解析a2b(8，5,13)，|a2b|8252132258.413解析因四2)AN；1(3)MPNC.1解：(1)P是C1D1的中点，APAAADDP1111aAF，B1FAF.AFEFF，B1F平面AEF.8.如图所示，在四棱锥P-ABCD，PAADA，AB平面PAD.平面PAD的法向量为B(0,2,0)nB0，nB2 ，（3 ）向量的数量积： 已知向量a,b ，则| a | |b | cos a,b 作 a b ，即a b |a | |b | cos a,b 。（4 ）空间向量数量积的性质： a e | a |cos a,e 。 a b a b 0 。| a |2 a空间向量期末复习知
2、识要点:1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（ 1 ）向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2 ）空间的两个向量可用同一平面的两条有向线段来表示。2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。OB OA AB a b ; BA OA OB a b ;OP a( R)运算律：加法交换律： a b b a加法结合律： (a b) c a (b c)数乘分配律： (a b) a b 3. 共线向量。（ 1 ）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线 向量或平行向量，
3、 a 平行于b ，记作a /b 。当我们说向量a 、b 共线（或a /b ）时，表示 a 、b 的有向线段所在的直线可能是同 一直线，也可能是平行直线。（2）共线向量定理： 空间任意两个向量a 、b（ b 0 ），a /b 存在实数 ，使a b 。4. 共面向量（ 1 ）定义：一般地，能平移到同一平面的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。（2 ）共面向量定理：如果两个向量 a,b 不共线， p 与向量a,b 共面的条件是存在实数 x, y使 p xa yb 。5. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组 x, y,
4、z ，使 p xa yb zc 。 若三向量a,b,c不共面，我们把a,b,c 叫做空间的一个基底， a,b,c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设O, A,B,C 是不共面的四点， 则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数 x, y,z ，使OP xOA yOB zOC 。6. 空间向量的数量积。（ 1 ）空间向量的夹角及其表示： 已知两非零向量a,b ，在空间任取一点 O ，作OA a,OB b ，则 AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作 a,b ；且规定0 a,b ，显然有 a,b b,a ；若 a,b 则称a 与b 互相垂直，记作： a b 。
5、（2）向量的模：设OA a ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作： | a |。叫做 a,b 的数量积，记a。（5 ）空间向量数量积运算律：，coscosn,n1212练习题：2已知a(2,4,5)，b(3，x，y)，若ab，则()2,2，4)，EF(2，2，2)，1BFEF(2)22(2)(4)(2A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,2)D(4我们把a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间| | | | |a ba ba （交换律）。1 2 3 1 2 3b a, b ,a1 2
6、 2 3b ) ；3(2)a b (a b ,a1 1 2a b a b a bb a,2 3b ) ；31 2 31 1 2 2a b3 3；1 1 1 2 2 2OA= (x x , y y , z z ) .2 1 2 1 2 1则cos a b, aa b1 1a22222223121a (a ,a ,a ) ，b (b,b,b)，(4). 夹角公式 设为 ，两向量 e与 n 的夹角为 ，则有 sin |cos |n|e b( a) b (a b) a ( b) 。a b b a (b c) a b a c （分配律）。7.空间向量的坐标运算：(1). 向量的直角坐标运算设 a (a
7、,a ,a ) ，b (b ,b ,b ) 则(1) a b (a 1(3) a ( a , a , a ) ( R) ； (4)(2). 设 A(x , y , z ) ，B(x , y , z ) ，则 AB OB(3). 设a (x , y ,z ) ，b (x , y ,z ) ，则 1 1 1 2 2 2| a |2 a a = x2 y2 z2 1 1 1a b a b(b 0) ；a b a b 0 x x y y z z 0 .1 2 1 2 1 21 2 3 1 2 3a b a b2 2 3 3.a b b3(5) 异面直线所成角 cos |cos a,b |=x 21|
8、x x y y z z |1 2 1 2 1 2y 21z 21x 22y 22.z 22(6).直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 所成的角|n e|(7). 二面角的求法(1)如图， AB，CD 是二面角 -l -的两个面与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 AB ，CD (2)如图， n1 ，n2 分别是二面角 -l -的两个半平面 ， 的法向量，则二面角的大E为AB的中点，E(2,1,0)，EF(1,0,1)，DC(0,2,0)，EFDC)，y01所以平面PCD的一个法向量为，0，1.PA平面ABCD，PAAB，又AB
9、ADyz.根据已知得：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B1(2,0，EFCB0，11.11EF理由AB2CD2BC，ABBC，所以四边形OBCD为正方形Ax6，y15 Bx3，y 2n2n n1 2n nCx3，y15 Dx6，y 23已知空间三点 A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1， 1,5) 若|a| 3，且 a 分别与AB()，C垂 直，则向量 a 为( )A(1,1,1)B(1， 1， 1)C(1,1,1)或( 1， 1， 1)D(1， 1,1)或( 1,1， 1)4若 a(2， 3,5) ，b(3,1， 4)，则|a2b|_.5如图所示
10、，1 15.小 n1 ，n2 或 n1，cos cos n ,n1 21 2练习题：1已知 a(3,2,5) ，b(1 ，x， 1)且 a b2，则 x 的值是( ) A 3 B 4 C 5 D 62已知 a(2,4,5) ，b(3 ，x，y)，若 ab，则( ) 1515已知正四面体 ABCD 中， AE4AB，CF 4CD ，则直线 DE 和 BF 所成角的余弦值为 _4. 258解析 a2b(8， 5,13)，|a2b| 82 5 2 132 258.413解析 因四面体 ABCD 是正四面体，顶点 A 在底面 BCD 的射影为BCD 的垂心，所以有 BC DA，AB CD.设正四面体的
11、棱长为 4，则F E( C F) (AE)0，1BFEF，B1FEF，BFAF(2)222(4)00，1BF，coscosn,n1212练习题：2已知a(2,4,5)，b(3，x，y)，若ab，则()A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，E(0,0,1)所以EC)，y01所以平面PCD的一个法向量为，0，1.PA平面ABCD，PAAB，又ABADcos 13.2 1 12ABac b.1 1(A)A AB BN a b2 BC2 1 AP1 又 NCCC1 2 BC A 1(A)1 ac112AA 2ca，1 11 a2c2a2bc1b 212a2bc，10 C E F A04 1 cos 120 1 4 cos 120 4，BFDE 42 122 4 1 cos 60 13，所以异面直线 DE 与 BF 的夹角 的余弦值为：46.如图所示，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，设 A 1(A) a，AB b，AD c，M，N， P 分别是 AA1 ，BC ，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：(1) AP ；(2) A N ； 1(3) MP NC . 1解： (1) P 是 C1D1 的中点，AP AA AD D P1 1 1
