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1、k0)上的图象.例题解析fx1例1(2011新课标全国卷改编)已知函数f(x)对任意的实数x=ex,又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(-x)-g(-x)=e-,-f(x)-g(x)=f(x),f(-x)）;巧妙赋值，合理、灵活变形配凑；找出f(x)与f(-x)关系，得出结论。例题解函数f(x)的周期，进而利用周期性，求f(2012)；(2)作出y=f(x)及y=|lgx|的图象，2013版高三数学一轮复习精品学案：函数、导数及其应用2.3 函数的奇偶性与周期性 【高考新动向】一、考纲点击1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2、会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性;3、了解函数周期性
2、、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性。二、热点难点提示1.函数的奇偶性、周期性的应用是高考的重要考点；2.常与函数的图象、单调性、对称性、零点等综合命题；3.多以选择、填空题的形式出现，属中低档题目.【考纲全景透析】一、函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数 f(x) 的定义域内 任意一个，都有 f(-x)=f(x)，那 么函数 f(x)是偶函数。如果对于函数 f(x) 的定义域内 任意一个，都有 f(-x)=-f(x 那图象特点关于 y 轴对称关于原点对称么函数 f(x)是奇函数。注： 1、奇偶函数的定义域的特点：由于定义中对任意一个 x 都有一个关于原点对称的-x在定
3、义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称； 2、存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简 后等于零。二、奇偶函数的性质1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 相反（填 “相同”、“ 相反”）。2、在公共定义域内，亦即：（ 1 ）两个奇函数的和函数是奇函数， 两个奇函数的积函数是偶函数；（2 ）两个偶函数的和函数、 积函数是偶函数；（3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。注：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立； 并且只能在选择题、填空题中直接应用， 解答题需先证明再利用。（2011浙江高考理科11）若
4、函数为偶函数，则实数a【思路点拨】两个偶函数的和函数亦是偶函数,f(x)是偶函数，故定义域关于原点对称.于是，b=0.又对任意x,有f(x)=f(-x),可得b=f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-10+1=-9.答案：-99.【解析】f(x)是R上)的取值满足mn=2,且mn2(此时，m、n(mn)n,m化简得(m3、若是奇函数 f(x)且在 x=0 处有定义，则 f(0)=0.4、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称，且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；6、可逆性： f ( x) f (x) f (x)
5、是偶函数； f ( x) f (x) f (x) 奇函数；7、等价性：f ( x) f (x) f ( x) f (x) 0f ( x) f (x) f ( x) f (x) 08、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、 非奇非偶函数。三、周期性1、周期函数：对于函数 y=f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时， 都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数， T 为这个函数的周期。2、最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最
6、小的正数，那么这个最小的正 数就叫做它的最小正周期。【热点难点全析】一、函数奇偶性的判定1、相关链接 利用定义判断函数奇偶性的一般步骤，即：（ 1 ）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若不对称，则既不是奇函数又不是偶 函数。（2 ）若定义域关于原点对称，再判定 f(-x)与 f(x)之间的关系若 f(-x)=-f(x)（或 f(-x) +f(x)=0），则为奇函数；若 f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0 则 f(x)为偶函数；若 f(-x)=-f(x且) f(-x)=f(x)，则 f(x)既是奇函数又是偶函数;若 f(-x) f(x)且 f(-x)- f(x)，则
7、f(x)既不是奇函数也不是偶函数。图象法：=-f(x所以f(1)=-f(-1)=-2(-1)2+1=-3.0(2)选.函数f(x)为奇(x)f(x),f(x)f(x),f(x)为奇函数。(2)Qf(3)a且f(x)为奇函数，f(3)f定义域内，亦即：（1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；（2）两个偶函数的和函域内总存在区间m,n(m0 且 a1）16x 1 2x2x1 16x1，显然16x 1 2x2x(3) f (x) 1og ( 1 x2 x2 2(4) f (x) (常数a性质法：一些重要类型的奇偶函数函数 f(x)=ax+a-x为偶函数;函数 f(x)=ax-a
8、-x为奇函数；函数 f(x)=( ax-a-x)/( ax+a-x)=( ax-1)/( ax+1)其中（ a0 且 a1 ）为奇函数；1 x函数 f(x)=loga(函数 f(x)= loga(1 x )为奇函数（ a0 且 a1）;x x2 12、例题解析例 1 讨论下述函数的奇偶性：(1) f (x) ;(2) f (x)1n( 01n(x 11 xx)(x 0)(x 0) ;x)(x 0)1 1);0);解：（1 ）函数定义域为 R，16 x 1 2 x2 xf ( x) 2x1116x1 2xf(x)为偶函数；（另解）先化简：f (x) 16x 14x 14x 4 x1 4xf (x
9、) f (x)，为偶函数； 从这可以看出，看f(-x)与f(x)的关系，进而得出函数的奇偶性；解决本题的关键是在f(x+y)=f(x)+f(y3a2)=a2=f(-a2)，由f(-a2+4)f(-a2)=a2=f(3a2)，故-a2+43-4-2,0,f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数，f)是奇函数，f(-x)=-f(x)=-2x-x2,f(x)=x2+2x.又当x2,4时，x1x 1x1 x1nx11n xx 2a , 12 2,f (x);f (x)x2 1（3），函数的定义域为 x 1，化简后再解决要容易得多。（2 ）须要分两段讨论：设x 0, x
10、0,f ( x) 1n( 1 x x) 1n设x 0, x 0,f ( x) 1n( x 1 x)当 x=0 时 f(x)=0，也满足 f(x)=f(x)；( 11n( 1 xx)x)由、知，对 xR有 f(x) = f(x) ， f(x)为奇函数；1 x2 0x2 1 0f(x)=log21=0(x= 1) ，即 f(x)的图象由两个点 （ 1，0）与 （1，0 ）组成，这两点既关于 y 轴对称，又关于原点对称，f(x)既是奇函数，又是偶函数；（4） x2 a2, 要分 a 0 与 a 0 时，a x a | x a | a函数的定义域为( a,0) (0,a),| x a | 0, f (
11、x)a2 x2x ，当 a 0 时， f(x)为奇函数；| x a | 0, f (x) a2 x2 取定义域内关于原点对 称的两点xa,xa22 2 5f ( a ) f ( a ) 3 3 0, 当a 3例 2 f（x）是定义在（， 50时, f (x)既不是奇函数，也不是偶函数5，）上的奇函数，且 f（x）在 5，）上单调递减，试判断 f（x）在（， 5 上的单调性，并用定义给予证明解析：任取 x1x2 5，则 x1x2 5因 f（x）在 5，上单调递减，所以 f（ x1）f（ x2） f（x1）f（x2） f（x1）f（x2），即 f（x）在（， 5 上单调减函数二、分段函数的奇偶性1
12、、分段函数奇偶性的判定步骤分析定义域是否关于原点对称；对 x 的值进行分段讨论， 寻求 f(x)与 f(-x)在各段上的关系；综合（2 ）在定义域内 f(x)与 f(-x)的关系，从而判断 f(x)的奇偶性。注：奇偶性是函数的一个整体性质，不能说函数在定义域的某一段上是奇函数或偶函数。2、例题解析=11,则f(-a)=.【思路点拨】令g(x)=x3cosx,利用g(x)是奇函数，求出g(a)=1x)=f(1-x)，则f(2012)=.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(易错题)设定义在)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|F(x).F(x)是偶函数.故选.5.（2011安徽高考=f(x)为周期函数，T为这个函数的周期。最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小f (f (x)的奇偶性与f (x)的关系 判断整个定义域上f ( x)与x ( x)2 ( x) 4xf ( x). x 0,x2 x 4x , ( x)2 ( x) 4xxf (x)例 1 已知函数x
