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1、程繁冗，而灵活运用模与共轭的性质进行变形，则较为简捷。证（1）是纯虚数，z0，12因为z1,z2t，则真数可转化为关于的二次函数；当分式二次函数的分子或分母为一次式时，常用上述变形方法去求其变化域i的立方虚根的应用。值得指出的是，代数变形的方法与技巧远不止于此，但它们却是最核心的、最本质的，乃至题的重要技巧（实为解题的突破口）。5对数变形：换底。例5讨论函数f(x)log(bx)(ba0)在定F (x)12log x12 （变为根式显然是不好的）。13 2至此，令3x 1 t 0 ，则3x 1(x 1)294 。t 4代数变形常用技巧及其应用代数恒等变形是数学解题的基石，变形能力的强弱直接制约
2、着解题能力的高低。变形实 质上是为了达到某种目的而采用的 “手段”， 是化归、 转化和联想的准备阶段， 它属于技能性 的知识，需要在实践中反复操练才能把握、乃至灵活与综合应用。针对学生在平时学习中不 善于积累变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作 难以实施，甚至以“失败”而告终；其直接后果是应试能力差、效益低。本文旨在展现代数运算和解题中常见的变形技巧，帮助学生找回失落而又重要的变形“通 法”。1. 整式变形：按“主元”合并同类项并依降幂或升幂排列。例 1 设函数 f (x) ax2 bx c ，a,b,c R.若点(x, y) 在函数 y f (x) 的图象
3、上， 则点 (x, y2 1) 在函数 g(x) f ( f (x) 的图象上，试求 g(x) 的解析式。分析一般地，以 x 为主元，从 y f (x) 和 y2 1 f ( f (x) 中产生 x 的四次恒等式，比较系 数便可求出a,b,c, 但此法过程繁冗。若转换思维，视 y 为主元，则有如下简解。解 由 y f (x) 和 y2 1 f ( f (x)可得 y2 1 ay2 by c ，由题意知它是关于y 的恒等式，故立知 a 1 b 0,c 1,从而 g(x) f ( f (x) (x2 1)2 1 x4 2x2 2。,评注：通法通则使人有章可循，数学中的“最简形式”、 “一般形式”、
4、 “标准形式”等即便如 此。但在实施通法通则的变形过程中， 只有把握问题的本质，才能达到灵活变通之目的。2 分式变形：通分化简乃通法，但诸多涉及分式的问题仅此而已是不够的， 尚需按既定的目 标逆向变通，这时将分式分解成“部分分式”、“分离常数”、“分子变位”等便成了特殊的“技巧”，灵活应用便使问题迎刃而解。例 2 已知 f (x) log 2 (x 1)。当点(x, y) 在 y f (x) 的图象上时， 点( x , y) 在 y g(x) 的图象上。试求函数F(x) g(x) f (x) 的最大值。分析 需先求 g(x) 的解析式，再对 F(x) 的解析式进行变形。解 由图象的伸缩变换知，
5、3x 12 (x 1)2 ,g(x) 的解析式为： g(x) f (3x131) log (3x 1) 。2 29yt2 4t 4t变形。解由图象的伸缩变换知，3x12(x1)2,g(x)的解析式为：g(x)f(3x131)log(。2分式变形：通分化简乃通法，但诸多涉及分式的问题仅此而已是不够的，尚需按既定的目标逆向变通，这时将。此外，分离常数法可使分式化繁为简，如一次分式函数变成kpxk后，便使其性质展暴无遗；在数列中，当其注：分子有理化在无理式的大小比较、不等式的证明、数列的求和与证明中都有用武之地。4指数变形：变同底，max1 9 32 2 8 2 2 。1t24t1 2 1 2 1
6、21x x1 21 x2 1a) 0 1 2 1，1 21 a21 t 4, 当且仅当 t=2 时取等号， F (x)评注：若令 xlog log 31 t ，则真数可转化为关于 的二次函数；当分式二次函数的分子或分母为一次式时，常用上述变形方法去求其变化域。此外，分离常数法可使分式化繁为简，如一次分式函数变成k pxk后，便使其性质展暴无遗；在数列中，当其通项为分式结构时，常联想到用裂项法求其前 n 项的和，进而通过极限求出无穷项的和。3 根式变形： 分母有理化当属变形的主流， 但为达某种目的有时却要逆向地采取分子有理化。 例 3 函数 f (x) x2 1 ax(a 0) 。求 a 取值范
7、围，使函数 f (x) 在区间0, ) 上是单 调函数。分 析 此 为 2000 年 高 考 题 ， 考 生 任 取 x1 ,x2 0, ), 且 x1 x2 ， 作 差 ：f (x ) f (x ) x2 1 x2 1 a(x x )后便出现不同程度的思维受阻现象。若注意到将根式的分子有理化，则可继续推演。解 f (x1) f (x2 ) (x1 x2 )(x2x xx2 1 x2 1当a 1时， 据x1 x2 知式恒正，从而 f (x1) f (x2 ) 0, f (x1) f (x2 ) ，故当a 1时，函数 f (x) 在区间0, ) 上是单调递减函数。当0 a 1时， 式的符号不确定
8、，又 f (0) f ( 2a ) 1，所以函数 f (x) 在区间0, ) 上不是单调函数。综上，当且仅当a 1时，函数 f (x) 在区间0, ) 上是单调递减函数。评注： 分子有理化在无理式的大小比较、 不等式的证明、 数列的求和与证明中都有用武之地。 4 指数变形：变同底，即减少底数的种类，是进行此类运算的重要途径。例 4 已知 a 0,试解关于x 的不等式：log a4x 2 a2x (a 1)x (a 1)2x 0。2分析 将原不等式等价转化为a4x 2 a2x (a 1)x (a 1)2x 0 ，便易思维受阻。究其原因在于上式为双底数的的积累消化工作，中受阻。为此，利用对数换底公
9、式进行变形，可供选择的底数有a、b和10，但a、b尚未完全具备对数底数的取值范围，使函数f(x)在区间0,)上是单调函数。分析此为2000年高考题，考生任取x1,x20非零，同理可得，21122故。评注：复数的诸多运算和变形技巧对解题的繁简有决定性作用，颇为典型的还有f (x)2（ 2 ）若 12z( 1 )2 0 ，试判断2，即代入便可变形出z12。z z2 1 1 1 z2 z2 ；z z =z za 1 a 1ax1 1a a指数不等式。此时，化双底为单底便是代数变形之关键。不等式两边同除以(a 1)2x ( 0) ，得 ( a2 )2x 2( a2 )x 1 0，此为关于(a2a1)x
10、 的一元二次不等式，问题便化生为熟了。解略。评注：化同底、变多底数为单底数，是研究与指数有关的方程、不等式、函数通性、极限等 问题的重要技巧（实为解题的突破口）。5 对数变形：换底。例 5 讨论函数 f (x) log (bx)(b a 0) 在定义域内的单调性，并证明你的结论。分析 直接利用单调性的定义进行探索无异于盲人摸象，极易在毫无目标的变形中受阻。为此， 利用对数换底公式进行变形，可供选择的底数有 a、b 和 10，但 a、b 尚未完全具备对数底数 的“资格”，故选择以 10 为底进行变形：lg x lg b lg x lg a1 lg b lg a lg x lg a 。据lg b
11、lg a 0及复合函数的“同增异减”法则知，原函数在区间(0, ) 和区间( , )上均为减函数。 如此思考和变形， 已发现了结论，故只需将上述直觉思维的过程逻辑化，便 可产生本例的简解。解略。评注：有关对数式的数学问题， 应注意换底及底数的合理选择。 像本例融思维于变形过程之 中的做法，值得提倡与效仿。6 复数变形：除按三角或代数运算进行变形外，尚需注意复数的模与共轭的性质在变形中的 灵活运用。例 6 已知 z1 , z2 是两个不相等的非零复数， 设 z1 z2 , z1 z2 。（ 1）若zz是纯虚数， 求证： 1zzz2 ；与的大小关系。分析 代数方法和三角方法均使解题过程繁冗，而灵活
12、运用模与共轭的性质进行变形， 则较为 简捷。证（ 1） 是纯虚数， z（2）由条件zz212zz。z )(z( 1 )2202 1z zz z0 ，得 1 12 21z 2z 22所以 z1 z22 11z z(z2z )1 1 2 2z z z z2从而，0，1 2，将,1 2z z1 2z z因为 z1 , z2 非零，a0及复合函数的“同增异减”法则知，原函数在区间(0,)和区间(,)上均为减函数。如此思考和变形，已)在区间0,)上不是单调函数。综上，当且仅当a1时，函数f(x)在区间0,)上是单调递减函数。评例2已知f(x)log2(x1)。当点(x,y)在yf(x)的图象上时，点(x,y)在yg(x)的图类项并依降幂或升幂排列。例1设函数f(x)ax2bxc，a,b,cR.若点(x,y)在函数yf(x)z z z z 。同理可得，21 1 2 2故 。评注：复数的诸多运算和变形技巧对解题的繁简有决定性作用，颇为典型的还有 i 的 立方虚根的应用。值得指出的是，代数变形的方法与技巧远不止于此，但它们却是最核心的、最本质的， 乃至最常用的变形 “技巧”。 平时在教与学的过程中， 若能留意用过二次以上的变形技巧（就 是方法），并能做好长期的积累消化工作，则对提高分析问题和解决问题的能力必将大有裨益， 进而有助于诸多良好思维品质的形成。
