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1、第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数第一节第一节 复数复数复数与复变函数复数与复变函数第二节第二节 无穷远点与复球面无穷远点与复球面第三节第三节 复变函数复变函数复变函数复变函数复平面上的点集复平面上的点集邻域、聚点、内点、开集、连通集、区域、边界点、闭区域、有界区域以上概念与高等数学中对应的概念相同，大家看书自学（1）求 平面上以原点为圆心，R为半径的圆的内部 解解（1）（2）（2）求 平面上以原点为圆心，R为半径的闭圆内部 例例11、区域、区域复变函数复变函数复平面上的点集复平面上的点集例例2求图1所示的带形区域表示解解 求图2所示的同心圆环的表示解解图1图2例例3复变函数复变函数复
2、平面上的点集复平面上的点集2、平面曲线、平面曲线在高等数学课程中已经知道，平面曲线可以用一对连续的函数()来表示（称为曲线的参数方程）此处可用实变的复值函数 来表示，即()复变函数复变函数复平面上的点集复平面上的点集例如：以坐标原点为中心，以 a为半径的圆周 其参数方程可表示为()写成复数形式即为()复变函数复变函数复平面上的点集复平面上的点集又如，平面上连接点（）与（）的直线段其参数方程可表示为：（）其复数形式为（）再如，表示一个圆，表示直线复变函数复变函数复平面上的点集复平面上的点集没有重点的连续曲线C称为简单曲线或若当(Jordan)曲线，如果简单曲线C的起点与终点重合，即，则称下面将区
3、域分类：在复平面上，如果区域D内任意一条简单闭曲线的内部都 含于区域D内，则称D为单连通区域；否则，为复连通区域曲线C为简单闭曲线 复变函数复变函数复平面上的点集复平面上的点集封闭曲线的方向封闭曲线的方向一般的，简单曲线的正向规定为：从起点到终点所指的方向简单闭曲线C的正向规定为：当观察者顺此方向前进时，曲线C所围区域一直在C的左手图3给出一种常用的情形，若曲线该图是一复连通区域所围部分为阴影部分，起正向如图所示显然，图3复变函数复变函数复变函数复变函数l定义定义：设 是复数的集合，对应法则有一个或多个确定的复数与之对应，则为定义在上的即一个复变函数等价于两个实的二元函数.复变函数，记为复变函
4、数复变函数例例4复变函数是定义在整个复平面上的函数，试将其化为两个二元实函数.解：解：设则反之，两个实的二元函数也可以确定一个复变函数复变函数复变函数例例5 解：解：考查为单值函数还是多值函数及均为z的单值函数；均为z的多值函数.复变函数复变函数例例6 解：解：注：注：复变函数中 与 之间的函数关系不能在图像中研究试求 及（均为实常数）在 映射下的原象将 写成 由此得于是，在 的映射下的原象为而 的原象为复变函数复变函数注：注：复变函数中 与 之间的函数关系不能在图像中研究yOxOuv例例6 解：解：试求 及（均为实常数）在 映射下的原象复变函数复变函数例例7 解法解法1函数 将平面内的曲线映
5、射为平面内的什么曲线?将 写成 由此得于是，解法解法2可写成即由 可得 因此得复变函数复变函数复变函数的极限复变函数的极限l定义定义：设复变函数在的邻域内有定义，若存在确定的数当时，有则称为当 趋向于时函数的极限，记为或应当特别注意的是，定义中 的方式是任意的，方向，以何种方式趋于 都要趋于同一个常数 A.就是无论 从什么复变函数复变函数l几何意义几何意义：复变函数复变函数设则复变函数极限存在的充要条件复变函数极限存在的充要条件l定理定理1.1复变函数复变函数例例8 解：解：设则令 沿着直线趋近于零，有极限值随的不同而不同，则不存在，函数极限不存在.讨论函数当时的极限.复变函数复变函数复变函数
6、的极限运算法则复变函数的极限运算法则l定理定理1.2设则(1)(2)(3)复变函数复变函数复变函数的连续复变函数的连续设复变函数在的某个邻域内有定义，若l定义定义：在则处连续.l定义定义：若在区域内处处连续，则在内连续.复变函数复变函数复变函数的连续复变函数的连续的充要条件是：均在 处连续l定理定理1.3 函数 在 处连续连续函数的和、差、积、商在分母不为零处均连续；连续函数的复合仍连续.复变函数复变函数例例9 解：解：计算极限例例10计算极限 解：解：复变函数复变函数复变函数的连续复变函数的连续这应按下述规定来理解：以任意方式趋于 时，函数的极限等于函数值 即区域 上连续”.注意：有时会遇到
7、“在闭区域 上连续”的说法，在边界点 连续是指 z 在 上闭区域上的连续函数一定是有界的闭区域上的连续函数一定是有界的.在区域D内和D的边界上都连续，则称“如果 在闭小故事小故事寻找宝藏寻找宝藏到橡树后右转，到橡树后右转，走相同步数，在此打木桩；走相同步数，在此打木桩；回到绞架，朝松树走，记下步数，回到绞架，朝松树走，记下步数，在此打木桩，在此打木桩，橡树橡树松树松树宝藏宝藏木桩木桩1木桩木桩2两木桩连线的中点即为埋宝藏的地点。两木桩连线的中点即为埋宝藏的地点。从绞架从绞架 出发朝橡树走，记下步数，出发朝橡树走，记下步数，寻找宝藏寻找宝藏到松树后左转，走相同步数，到松树后左转，走相同步数，小故事小故事寻找宝藏寻找宝藏橡树橡树松树松树木桩木桩1木桩木桩2建立复平面直角坐标系，建立复平面直角坐标系，到橡树的向量所代表的复数为到橡树的向量所代表的复数为橡树到木桩橡树到木桩1的向量所代表的复数为的向量所代表的复数为木桩木桩1的复数坐标为的复数坐标为类似可求出木桩类似可求出木桩2的复数坐标为的复数坐标为因此宝藏坐标为：因此宝藏坐标为：橡树坐标为橡树坐标为松树坐标为松树坐标为宝藏宝藏
