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1、上述各值中最大的为max，最小的为min作业：P10010（1x，dyydx112.yxarctanxln(1x2)l求微分yf(x),dyf(x)dx1.yln1x，dyy续但不可导1.作业：P7552.讨论下列函数在区间分界点的连1x2.y是否有界？答案：有界，因为211 x2x.第一章 预备知识一、定义域1. 已知 f (x) 的定义域为( ,0) ，求 f (ln x) 的定义域。答案： (0,1)2. 求 f (x)答案： ,x3 3x2 x 3x2 x 6 3 3,2的连续区间。提示：任何初等函数在定义域围都是连续的。2,二、判断两个函数是否相同？1. f (x) lg x2 ，
2、g(x) 2lg x 是否表示同一函数？答案：否2. 下列各题中， f (x) 和g(x) 是否相同？答案：都不相同(1) f (x) x2 1x1, g(x) x 1(2) f (x) x, g(x) sin arcsin x(3) f (x) x, g(x) eln x三、奇偶性1. 判断 f(x) ex e x2 的奇偶性。答案：奇函数四、有界性x D, K 0 ，使 f (x) K ，则 f (x) 在D 上有界。有界函数既有上界，又有下界。1. f (x) ln(x 1) 在(1,2) 是否有界？答案：无界x21 x2五、周期性1. 下列哪个不是周期函数（ C ）。A y sin x
3、, 0 B y 2 C y xtan x D y sin x cos x 注意： y C 是周期函数，但它没有最小正周期。六、复合函数1. 已知 f (x) ，求 f (x)例：已知 f x 1 x2 , (x 0) ，求 f (x)解 1 ：.w.1，求f(cosx)提示：先求出f(x)4.设f(sin2x充练习：（1）证明方程xsinx2至少有一个不超过3的正实根3x2三十一、求极限.w.1.无穷小与有界量的明出不等式。1.作业：P9942.补充练习：证明下列不等式：xarctan x x cos x 1x x x x x x1xx 001xx 1f1111121 x2 1x，1y ，x2
4、f (x)解 2 ：令1x1y2. 设 f x111x1121 1 xx2 111 2x x x2 x2 x22sin2 xsin2 x1 sin2 xxyxx.112xf (y)1y112， f (x)，求 f (x) 提示： x23. 设 f (sin x) cos 2x 1 ，求 f (cos x) 提示：先求出 f (x)4. 设 f (sin2 x) cos 2x tan2 x ，求 f (x) 提示： f (sin2 x) 1七、函数图形熟记 y arcsin x, y arccos x, y arctan x, y arc cot x 的函数图形。第二章 极限与连续八、重要概念1
5、. 收敛数列必有界。2. 有界数列不一定收敛。3. 无界数列必发散。4. 单调有界数列极限一定存在。5. 极限存在的充要条件是左、右极限存在并且相等。九、无穷小的比较1. x 0 时，下列哪个与 x 是等价无穷小（ A）。A tan x B sin x x C sin x x D 3x2十、求极限1. 无穷小与有界量的乘积仍是无穷小。lim 0 ，lim 1 ，lim sin x2. 自变量趋于无穷大，分子、分母为多项式0 ，lim x2 sin 0 ， limxxcos x1 x2.w.概念1.收敛数列必有界。2.有界数列不一定收敛。3.无界数列a.w.证（2）：af(x)dx0a0f(t)
6、dx)x在x0处，连续但不可导1.作业：P7552.讨论下列函（1）当ab0时，3b2aba3b33a2ab（2）arct（ 1）lim n 1 n n （2）limx 0 x36. 、 、0 、0 x 0 3x2x 0 xsin x011x 13x2 2 3x 4x2 3x 5 43. 出现根号，首先想到有理化lim x 2 x lim 01 2lim lim3 x 1 x例： lim x1 x2 sinx 2x 1作业： P49 7limx（1）sin x1.例如： lim 提示：分子、分母同除未知量的最高次幂。2x x x 2 x1 x 1 x 1 x3 x2 3x 1 1 3 x x
7、1 1 x 1 x 2补充练习：n x 1 x2 1（3） lim x 2 x 1 x （4） lim x x2 1 x x x（5）lim 1 tan x 1 sin x4. 出现三角函数、反三角函数，首先想到第一个重要极限1x2 1x(2x 1) 2x（3）5. 出现指数函数、对数函数、幂指函数，首先想到第二个重要极限例： limxx2 1x2lim 1x（4）（6）x2 1作业： P49 700作业： P99 5 （1）（8）2x2 1x2 1 2x2 2 x2 1、00 、1 、e 20 ，可以使用洛必达法则7. 分子或分母出现变上限函数提示：洛必达法则+变上限函数的导数等于被积函数例
8、： limx 01x3x sint2dt lim sin x2 13补充练习：（ 1）lim sin xarcsintdt0x sint2dt 2 （3）lim 0 x 0 x t2 sint3dt0（2）lim x 0（4）lim x 1x et2 dtxx et dt.w.续性与可导数axbcosx0,b1三十七、求导数答案：在x0（驻点与导数不存在的点）（2）将定义域分成若干个子区间，列表从而确定单调性与极值例：确定f(x)2x作业：P10098x（1）当ab0时，3b2aba3b33a2ab（2）arct1. 设 f (x)xxklim ex e x 22x 00 处连续， kx 0
9、2x x 0 222 xf (x)x2 5x 6 sin x ,5xxx.十一、连续与间断任何初等函数在其定义域围都是连续的。分段函数可能的间断点是区间的分界点。若 lim f (x) f (x ) ，则 f (x) 在 x 处连续，否则间断。0 0第一类0间断点：左、右极限都存在的间断点，进一步还可细分为可去间断点和跳跃间断点。 第二类间断点：不属于第一类的间断点，进一步还可细分为无穷间断点和振荡间断点。x xex e x 2 x2 ,解： lim f (x)x 0f (x) 在 x0 在 x 0 处连续，求k ? 0lim ex e x lim ex e x 112. 作业： P49 4
10、、10 P50 11 、123. 补充练习：（ 1 ）研究函数的连续性： f (x)1 x 1x2 1 x 1 ， f (x)1 x 10 x 11 x 2（2 ）确定常数a, bex xx a x，使下列函数连续：0， f (x) 0x2 x 0a x x 0ln 1 3x bx， f (x) 2sin axxx 0 x 0x 0（3 ）求下列函数的间断点并确定其所属类型：y x2 4 , y x y cos3 , y2x 1 x 14 5x x 1十二、闭区间上连续函数的性质零点定理： f (x) 在a,b 上连续，且 f (a) f (b) 0 ，则在(a,b) 至少存在一点 ，使得 f ( ) 01. 补充练习：（ 1 ）证明方程 x sin x 2 至少有一个不超过 3 的正实根。（2 ）证明方程 x5 3x 1 0 在(1,2) 至少有一个实根。（3 ）证明方程 x ex 2 在(0, 2) 至少有一个实根。（4 ）证明方程 x 3x 2 至少有一个小于 1 的正根。.w.下列函数连续：（3）求下列函数的
