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1、高中数学：必 考10道经典函数例题详解易错点1:求函数定义域时条件考虑不充分【例1】求函数y=1 +（X +1）的定义域.2x【错解】由题意得3 2次一，2 0,解得一3 4 x 4 1,所以 原 函 数 的 定 义 域 为.注意事项【错因】忽视分母不为零；误以为（x+l）=l对任意实数成立.在求函数的定义域时应注意以下几点:分 式 的 分 母 不 为 零；偶 次 根 式 被 开 方 式 非 负；对 数 的 真 数 大 于 零；零的零次赛没有意义；函数的定义域是非空的数集.【正 解】由 题 意 得 3 2x 0I C ，解得x+1 w 0 3 x 0 ,-一 以？0 ,解 之 得x-3-2 x
2、 2,x 3 ,即 函 数/(X)的 定 义 域 为(2,3)U(3,4 ,故应选C.易错点2：求复合函数定义域时忽视”内层函数的值域是外层函数的定义域”经典例题【例2】已知函数/(%)=10831+2,%1,9,求函数y=/(%)2+/()的值域.【错解】由题意得3-2、一，NO,解得 3 4 x 4 l,所以 原 函 数 的 定 义 域 为.注意事项【错因】求函数y=+/卜2）定义域时，应考虑x91X29，【正解】因 为/（X）的 定 义 域 为1,9 ,l x 9 2八，解得l x2 ，)的值域为6,1 3 .练习时间【纠错训练】奇 函 数/）是定义在（一1,1）上的减函数,且/（1一。
3、）+/（2。-1）0,求实数的取值范围.参考答案【解析】由/(1-)+/(2 -1)0,得/(I-a)/Q a 1)V/(x)是奇函数，/(-幻=-/(幻，又二 fW 是定义在(一1,1)上的减函数，11 Q1v -1 1 2a 1,解得0。1 2Q即所求实数的取值范围是0。1.易错点3:判断函数奇偶性时忽视定义域经典例题【例 3 1 判断函数/(x)=(l+x)J匚 的奇偶性.V 1 +x【错 解】.小)=(1 +X)后I =旧(1 +回2 =口，/(f)=1 -(-X)2=V 1-X2=/(X)f(x)=(1 +X).-是偶函数V 1 +x【错因】对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内
4、任 意 一 个X,都 有f(-x);f(x),X尸-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.注意事项【知 识 点 归 类 点 拔】(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。(1 )函数/()具有奇偶性，则 X)=/(T)或/()=/(一)是 对 定 义 域 内*的恒等式。常常利用这一点求解函数中字母参数的值。【正解】/(x)=(l +x)J-有意义时必须满足V 1 +x|x 2 0 0-l 0,函数定义域为（一 1,4）,外层函数为减函数，内层函数 =4 +3x f 在（-1,宁为3增函
5、数，在弓,4）为减函数，3原函数增区间为,4）.练习时间【纠错训练11 函数y=15 4x 的单调增区间 _.【纠错训练2】已知y =l o g”（2-a x）在 0,1 上是的减函数，则 的 取 值 范 围 是.参考答案【解析】y yj5 4x x2 的定义域是 5,1,又g(x)=5-4 x-x?在区间-5,-2上增函数，在 区 间 是 减 函 数，所以丫=：5 4%一工2的增区间是 5,2.【解析】：y=l o g”(2 o x)是由 y =l o g”，v =2 o x 复合而成，又0.M=2-a x在0,1 上是的减函数，由复合函数关系知y =l o g”应为增函数，1,又 由 于
6、在0,1 上 时y =l o g“(2-a x)有意义，=2 Q X又是减函数，=1时，M=2 a x取最小值是讪=2-。0即可，V 2综上可知所求的取值 范 围 是iv 2.易错点5:解 二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论经典例题【例5】函 数f (x)-(m-l)x2+2(m+l)x-l的图象与轴只有一个交点，求实数m的取值范围.注意事项【错解】由 二 ()解得加=0或能=3.【错因】知识残缺，分类讨论意识没有，未考虑加-1=0的情况.【正解】(1)当加一1 =0时，即 加=1,/(x)=4 x-l与轴只有一个交点，满足题意；(2)机一1 0 0时，=4(m+1)2-4 x(10)x
7、(w 1)=0 ,解 得 加=0或 加=3;综上所述，实 数m的取值范围是-3,0,1.练习时间【纠错训练】已知集合2=x|ax1+4x+4=0,x e 7?,e 7?只有一个元素，求的值与集合A.参考答案【解析】当=0 时，x=-1;当 QWO 时，=16 4X4=0,5=1,此时 x=-2.综上所述：w=l时，集合力=一2;z=0时，集合力二一1.易错点6:用函数图象解题时作图不准 例6求函数/(x)=f的图象与直线/(x)=T的交点个数.注意事项【错因】忽视指数函数与赛函数增减速度快慢对作图的影响.我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导 致 图 形“失真”，从而得出错
8、误的答案.【正解】作图可得在区间（一1,0）有一个交点，还有（2,4）,（4,16）这两个交点，共三个.练习时间【纠错训练1】(高考湖南，文1 4)若函数/(x)=|2 1 2|b有两个零点，则实数的取值范围是_【纠错训练2】参考答案B.C.D.【解析】由题意得，x,排除A,当x 0时，x3 0,X3v-1 0,排除 B,又xf+oo 时,3V-1-.0+,排除D,故选C.3V-1【解 析】由 函 数/(x)=|2 2 1 b有 两 个 零 点，可得12、-21=6有两个不等的根，从而可得函数夕=|2-2|函 数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0 b 2,故答案为：06 2的解集为
9、.【错解】91由 2一2 2 2,得1 一一;由 2x+2 N 2,得 x 2 0,2所以/(x)2的解集为(一8 U0,+00).注意事项【错因】解第一个不等式时，忽略了“X 0-1”这个大前提.【正解】/(-2)=2-2(-2)=24=16/(/(-2)=2x l 6 +2=3 4；x 2得 x -l,x 1由12x+22得 x 20,所以不等式/(x)22的解集为(-0 0-1 U 0,+o o).练习时间【纠错训练1】-I-V V V Q设函数/(x)2 一 若则实-x,x 0,数t的取值范围是C.(-co.-2D.-2.4-00)【纠错训练2】-log2 x(x 0)已 知 函 数/
10、(x)=，则 不 等 式1-x2(x 0的 解 集 为.(上海普陀区三模)参考答案【解析】/7?0令加=/（0,则/（加）W 2,则，m+m 0或 .,即一 2根 0,即根2 2;-m2 2t0则/之一2,即或、，即一 1-2-t2-2VI或0 4/4血，即，W&,故选A.【解析】试题分析：当 x0 时，一log?x0=log2 1 ,解得0 x l;当x0,解得一l x 0的解集为(一1,1).易错点8:分段函数单调性问题，忽略分界点函数值的比较经典例题 例8,（2-4）x+l X 1值范围.注意事项【错解】要 使 得/（X）在H上 是 增 函 数，则 两 个 函 数y =（2 a）x +l
11、与y =均为增函数，所以【错因】只考虑到各段函数在相应定义域内为增函数，忽视了（%）在分界点附近函数值大小关系.【正解】要 使 得f(x)在R上 是 增 函 数，则 两 个 函 数g(x)=(2 a)x+l与/7(x)=a 均 为 增 函 数，并且还要(2-a 0满足在x=l处，有g(l)/(l),即,解2 a+1W。3 3得一 a 2 ,所 以 的 取 值 范 围 是 一,2).2 _2练习时间(3a-l)x+4a,xl【纠错训练】已知函数/(%)=在 log。X,X 21R是单调函数，则实数的取值范围是.参考答案【解析】f(3tz-1)x4-4(2,x 0函数，需满足,无解；(3a-l)x
12、 l+4a loga 1(3flf-l)x+4a,x 13-l 0函 数，需 满 足10 a loga 11 1 .+1 1)a 一,所以实数的取值范围是|一，.7 3 17 3；易错点9：误 解”函数的零点”意义经典例题 例9 函 数/（工）=%2-3%+2的 零 点 是（）A.(1,0)B.(2,0)C.(1,0),(2,0)D.1,2注意事项【错解】c【错因】错误的原因是没有理解零点的概念，II望文生义”，认为零点就是一个点.而函数的零点是一个实数,即使/(x)=0成立的实数，也是函数=/(x)的图象与轴交点的横坐标.参考答案【正解】由 3x+2=0得，x=l和x=2,所以选D.易错点1 0:函数零点定理使用不当经典例题【例 10若函数/(x)在区间-2,2 上的图象是连续不断的曲 线，且/(%)在(-2,2)内 有 一 个 零 点，则/(2)/的值()A 大 于 0B 小 于 0C 等 于 0D 不能确定注意事项【错解】由函数零点存在定理知/(-2)/(2)0 ;/(%)=%在 x=0 处取得零点，但/(-2)./(2)0,当x 0时，/(x)0所以函数没有零点.也1可由工+一 =0得7+1=0方程无实数解.X
