第02讲 空间向量基本定理1．掌握空间向量基本定理.2．会用基底法表示空间向量. 3．初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想．知识点一 空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．知识点二 空间向量的正交分解1．单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．知识点三 证明平行、共线、共面问题(1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.知识点四 求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝.(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.知识点五 求距离(长度)问题＝( ＝ )．【题型 1 空间向量基本定理的理解】【典题】（1） 若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是( )A．b+c,b,b−c B．a+b,a−b,c C．a,a+b,a−b D．a+b,a+b+c,c【解析】 对于A，若向量b+c,b,b−c共面，则b+c=λ(b−c)+μb=(λ+μ)b−λc，即&λ+μ=1&−λ=1，解得λ=−1,μ=2，故向量b+c,b,b−c共面，故A错误，对于B，若向量a+b,a−b,c共面，则a+b=λ(a−b)+μc，λ,μ无解，故向量a+b,a−b,c不共面，故B正确，对于C，若向量a,a+b,a−b共面，则a+b=λa+μ(a−b)=(λ+μ)a−μb，即&λ+μ=1&−μ=1，解得λ=2,μ=−1，故向量a,a+b,a−b共面，故C错误，对于D，若向量a+b,a+b+c,c共面，则a+b+c=λ(a+b)+μc，解得λ=μ=1，故向量a+b,a+b+c,c共面，故D错误．故选：B． （2）已知非零向量a=3m−2n−4p，b=(x+1)m+8n+2yp，且m、n、p不共面．若a//b，则x+y= .【解析】∵m、n、p不共面，故m、n、p可看作空间向量的一组基底，∵a//b，故存在λ≠0，使得b=λa，即(x+1)m+8n+2yp=3λm−2λn−4λp，∴&x+1=3λ&8=−2λ&2y=−4λ，解得：&x=−13&y=8，则x+y=−5． （3） 如图，在三棱锥S−ABC中，点E,F分别是SA,BC的中点，点G在棱EF上，且满足EGGF=12，若SA=a,SB=b,SC=c，则SG= ( )A．13a−12b+16c B．13a+16b+16c C．16a−13b+12c D．13a−16b+12c【解析】因为SG=SE+EG=12SA+13EF=12SA+13(ES+SC+CF)，=12SA+16AS+13SC+16CB=13SA+13SC+16(CS+SB) =13SA+16SB+16SC=13a+16b+16c．故选：B．巩固练习1.已知O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不能构成空间的一个基底，则一定有( )A．OA,OB,OC共线 B．O,A,B,C中至少有三点共线 C．OA+OB与OC共线 D．O,A,B,C四点共面【答案】 D【解析】 由于向量OA,OB,OC不能构成空间的一个基底知OA,OB,OC共面，所以O,A,B,C四点共面，故选：D．2. (多选题)下面四个结论正确的是( )A．空间向量a,b(a≠0,b≠0)，若a⊥b，则a⋅b=0 B．若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，则P,A,B,C四点共面 C．已知{a,b,c}是空间的一组基底，若m=a+c，则{a,b,m}也是空间的一组基底 D．任意向量a,b,c满足(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c) a⋅b=0【答案】 ABC【解析】 对于A：空间向量a,b(a≠0,b≠0)，若a⊥b，则，故A正确；对于B：若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，由于16+12+13=1，则P,A,B,C四点共面，故B正确；对于C：已知{a,b,c}是空间的一组基底，若m=a+c，则{a,b,a+c}两向量之间不共线，故也是空间的一组基底，故C正确；对于D：任意向量a,b,c满足(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)，由于a⋅b是一个数值，b⋅c也是一个数值，则说明c 和 a存在倍数关系，由于a,b,c是任意向量，不一定存在倍数关系，故D错误．故选：ABC． 3. 如图所示，在四面体O−ABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则MN= ( )A．12a−23b+12c B．−23a+12b+12c C．12a+12b−23c D．23a+23b−12c【答案】 B【解析】 连接ON，∵N是BC的中点，∴ON=12OB+12OC，∵OM=2MA,∴OM=23OA，∴MN=ON−OM=12OB+12OC−23OA=−23a+12b+12c，故选：B．4. 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若AB=a,AD=b,AA1=c，则CM=( )A．12a+12b+c B．12a−12b+c C．−12a+12b+c D．−12a−12b+c【答案】 D【解析】 ∵在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点；∴CM=CB+BM=CB+12BA1+BC1=−AD+12BA1+12BC1 =−AD+12BA+AA1+12BC+CC1=−AD−12AB+12AA1+12AD+12AA1 =−12a−12b+c；故选：D． 【题型 2 】空间向量基本定理的应用【典题】（1）如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60∘，CD=CC1，求证CA1⊥平面C1BD.【求证】如图，设CD=CB=CC1=a，令CD=a,CB=b,CC1=c，则BD=a−b，CA1=CD+CB+CC1=a+b+c，∴CA1⋅BD=a+b+ca−b=a⋅a−a⋅b+b⋅a−b⋅b+c⋅a−c⋅b，又a⋅a=b⋅b=c⋅c=a2，a⋅b=b⋅c=a⋅c=12a2，∴CA1⋅BD=0，∴CA1⊥BD，∴CA1⊥BD，同理可证CA1⊥C1B，又C1B∩BD=B，C1B,BD⊂平面C1BD，∴CA1⊥平面C1BD. （2）如图，在三棱锥P−ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM=3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA,PB,PC于点D,E,F，若PD=mPA,PE=nPB,PF=tPC，求证：1m+1n+1t为定值，并求出该定值．【证明】 如图示：连接AG并延长交BC于点H，由题意可令{PA,PB,PC}为空间的一个基底，故PM=34PG=34(PA+AG)=34PA+34⋅23AH=34PA+12⋅12(AB+AC)=34PA+14(PB−PA)+14(PC−PA)=14PA+14PB+14PC，连接DM，因为点D,E,F,M共面，故存在实数λ,μ，使得DM=λDE+μDF，即PM−PD=λ(PE−PD)+μ(PF−PD)，故PM=(1−λ−μ)PD+λPE+μPF=(1−λ−μ)mPA+λnPB+μtPC，由空间向量基本定理知14=(1−λ−μ)m,14=λn,14=μt，故1m+1n+1t=4(1−λ−μ)+4λ+4μ=4，为定值． 【巩固练习】1. 如图，三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都相等，∠A1AB=∠A1AC=60∘，点M为△ABC的重心，AM的延长线交BC于点N，连接A1M．设AB=a,AC=b,A1A=c．(1)用a,b,c表示A1M；(2)证明：A1M⊥AB．【答案】 (1) A1M=13a+13b+c (2)略【解析】 (1)因为△ABC为正三角形，点M为△ABC的重心，所以N为BC的中点，所以AN=12AB+12AC,AM=23AN，所以A1M=A1A+AM=−AA1+23AN=−AA1+13AB+13AC=13a+13b+c．(2)设三棱柱的棱长为m，则A1M⋅AB=13a+13b+c⋅a=13a2+13a⋅b+c⋅a=13m2+13m2×12−m2×12=0，所以A1M⊥AB． 2. 如图，在棱长为 1的正方体ABCD−A1B1C1D1 中，E,F 分别为DD1，BD 的中点，点G 在CD上，且 CG=14CD. (1)求证: EF⊥B1C； (2) 求 EF与C1G 所成角的余弦值. 【答案】 (1) 略 (2) 5117【解析】 (1)证明 设DA=a,DC=b,DD1=c，则EF=DF−DE=12DB−12DD1=12(DA+DC)−12DD1=12(a+b)−12c=12(a+b−c)B1C=A1D=−DA1=−DA+DD1=−(a+c)，∵EF⋅B1C=12a+b−c⋅−a+c=−12a2+a⋅c+a⋅b+b⋅c−a⋅c−c2 =−12(1+0+0+0−0−1)=0,∴EF⊥B1C,∴EF⊥B1C.(2)解 由(1)知EF=12(a+b−c)，GC1=GC+CC1=14DC+CC1=14b+c，又|EF|=32,GC1=174，EF⋅GC1=12a+b−c⋅14b+c=1214a⋅b+a⋅c+14b2+b⋅c−14b⋅c−c2 =120+0+14+0−0−1=12×−34=−38，cosEF,GC1=EF⋅GC1EF∥GC1=−3832×174=−5117，∴EF与C1G所成角的余弦值为5117.3. 如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M,N分别在棱AA1,CC1上，且A1M=13AA1,CN=13CC1，且∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60∘．(1)用向量AA1,AD,AB表示向量MN；(2)求证：D,M,B1,N共面；(3)当AA1AB为何值时，AC1⊥A1B．【答案】 (1) MN=AB+AD−13AA1 (2)略 (3) 1【解析】(1)MN=MA+AB+BC+CN=−23AA1+AB+BC+13AA1=AB+AD−13AA1．证明：(2)∵DM=AM−AD=23AA1−AD，NB1=C1B1−C1N=23AA1−AD，∴DM=NB1，∴D,M,B1,N共面．解：(3)当AA1AB=1，AC1⊥A1B，证明：设AA1=c,AD=b,AB=a，∵底面ABCD为菱形，则当AA1AB=1时，|a|=|b|=|c|，∵AC1=AB+BC+CC1=a+b+c，A1B=AB−AA1=a−c，∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60∘，∴AC1⋅A1B=(a+b+c)⋅(a−c)=a2+a⋅b−b⋅c−。