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1、模型一、四点共圆类型一、两对角互补【例1】如图1，等边ABC中，AB=6，P为AB上一动点，PDBC，PEAC，则DE 的最小值为_ _ 图1 图2【简答】因为PEC=PDC=90，故四边形PDCE对角互补，故P、D、C、E四点共圆，如图2，EOD=2ECD=120，要使得DE最小，则要使圆的半径最小，故直径PC 最小，当CPAB时，PC最短，此时易求得 DE=【例2】如图，已知ABC中，ACB=90，AC=4，BC=3， CPB=-A，过点C作CP的垂线，与BP的延长线交于点 Q，则 CQ的最大值为 【简答】ABC是一个确定的三角形，CPB=A，点P在ABC 的外接圆上运动，CQCP，ABC
2、PQC，即PQC的形状是确定的，大小在变化，且，即，要使CQ最大，只需 PC最大，很明显当PC为圆的直径时最大，最大值为5，此时CQ=【练习】1如图，已知矩形 ABCD中，AB=12，BC=5，点P是边 CD上的一动点（不与C、D重合），过P作 PGAB于点G，过G作 GMAP于点 M，作 GNBP于点N，连接 MN，则 MN 的最大值为 ;当 MN 取得最大值时，DP 的长为 。2. 如图，在ABC中， ACB=90，AC=6，BC=8，O为AB的中点，过O作 OEOF，OE、OF分别交射线AC， CB 于E、F，则EF 的最小值为 。3.如图，在边长为 12 的菱形 ABCD中，对角线 A
3、C、 BD 交于点O，BAO=60，点E为 AB上一动点，过点E作 EPAD 于点P，EQ/AC交 BD于点Q，连接 PQ，DPQ 周长的最小值是 。类型二、动点到定点等于定长【例1】如图 1，四边形ABCD 中，AB=AC=AD，若CAD=76，则CBD= 度。 图1 图2【简答】如图2，因为 AB=AC=AD，故B、C、D三点在以A 为圆心，AB为半径的圆上，CBD= CAD=38【例2】如图 1，长2米的梯子AB竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中，梯子AB的中点P的移动轨迹长度为 。 图1 图2【简答】由斜边上的中点等于斜边的一半可知，OP=1，动点P到定点O的距离始终等
4、于1，满足圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆），故P的运动轨迹是圆弧，圆心角为90，轨迹长度为四分之一圆的长度，即.【例3】如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点 E，F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，G为EF的中点，P为 BC边上一动点，则PA+PG的最小值为 。【简答】DG为定长，.点G 的运动轨迹为圆（要求 AP+PG，典型的将军饮马问题），做A关于 BC的对称点A，则 AP+PG=AP+PG，当 A、P、 G 三点共线时，AP+PG 最短，又A为固定点，G在圆上运动，可知当A、G、D 三点共线时，AG 最短，为4.【例4】如图1，在RtABC中，C=90，AC
5、=6，BC=8，点F在边 AC上，并且CF=2，点 E为边 BC上的动点，将CEF沿直线 EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 。 图1 图2【简答】E是动点，导致EF、EC、EP都在变化，但是FP=FC=2不变，故P点到F点的距离永远等于2，故P在半径为2的OF上运动，如图2.过F作 FHAB于H，交OF于点，则当P与重合时， P 到边 AB 的距离最小，又AFHABC，即,又，故，即P到边AB距离的最小值为1.2。【练习】1.已知四边形ABCD，AB/CD，AD=BD=CD=3，BC=2，则 AC的长为 。2.如图，在RtABC中，C=90，E是直角边AC的中点， F是直
6、角边 BC上的一个动点，将ECF沿EF 所在的直线折叠，得到，D是斜边的中点，连接 CD.若AC=6， BC=8，则 CD 的最小值是 .3.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，P为 BC边上一动点，以直线 AP为对称轴将ABP翻折得到 ABP，当 DB最小时，线段 CP 长为 4.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=， B=60，点E为线段 BC上一动点，连接AE，将ABE沿着AE折叠，得到AFE，连接CF，DF，则CDF面积的最小值为 。5.如图在 RtABC中，B=90，C=30，AB=1，D为线段AC上一动点，将BDC沿着 BD翻折，点C的对应点为F，E为A
7、C的中点，在D从C到A的运动过程中，当 EF最短时，CD= 。6.如图，菱形ABCD的边AB=4，B=60，P是 AB上一点，BP=，Q是 CD边上一动点，将四边形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为，当的长度最小时，CQ的长为 .类型三、直角所对的是直径【例1】如图1，RtABC中，ABBC，AB=6，BC=4， P是ABC内部的一个动点，且始终有 APBP，则线段 CP 长的最小值为 。 图1 图2【简答】如图2，因为APBP，P=90（定角），AB=6（定弦），故P在以AB为直径的OH上，当H、P、C三点共线时 CP最短，HB=3，BC=4则HC=5，故CP=5-3=2.【例2】如图，正
8、方形ABCD的边长为4，点E是AB边上的一个动点，点F是 CD边上一个动点，且AE=CF，过点 B 作 BGEF 于点G，连接 AG，则 AG长的最小值是 。【简答】连接AC、BD交于点O，易证O是EF的中点，BGEF于点G，BGO=90，作BGO的外接圆OM，则G 在OM上运动，当A、G、 M 三点共线时，AG 的长最小，OM=，OA=，根据勾股定理求得 AM=，.AG 长的最小值是.【练习】1.如图，RtABO中，ABO=90，AB=4，BO=2.以AB为边作正方形.ABCD. 点M是边 BC上一动点，连接AM，过O作AM的垂线，垂足为N，连接 CN. 则线段 CN的最小值是 。2.如图，
9、在等腰RtAABC中，ACB=90，AC=BC=4，点D为线段 AC上一动点，连接 BD，过点C作 CHBD于点H，连接 AH，则 AH 的最小值为 。3.如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且ABE=BCE，点P是.B边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE长度的最小值为 。4.如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M、N分别从B、 C同时出发，以相同的速度沿 BC、CD方向向终点C和D运动，连接 AM和 BN交于点P，则 PC长的最小值为 。类型四、定弦对定角 同弧（同弦）所对的圆周角相等 定弦对定角（锐角） 定弦对定角（钝角）【例1】如图1，ABC为
10、等边三角形，AB=2，若P为ABC内一动点，且满足APC=150，则线段PB长度的最小值为 。【简答】因为 AC定长、APC=150定角，故满足定弦定角模型，P在圆上，圆周角APC=150，通过简单推导可知圆心角 AOC=60，故以 AC 为边向下作等边AOC，以O为圆心，OA为半径作圆O，P在圆O上。当B、 P、O三点共线时，BP最短.【例2】如图1 所示，边长为 2 的等边ABC的顶点B在x轴的正半轴上移动，BOD=30，顶点A在射线 OD上移动，则顶点C 到原点 O 的最大距离为 【简答】因为AOB=30（定角），AB=2（定弦），作 AOB的外接圆圆Q，圆心角AQB=60，可知 OCO
11、Q+QC，当 O、Q、C三点共线时，OC 取得最大值.【例3】已知如图ABC，BC=2m（定值），BAC=（一般是我们常见的 60、90、120等）.（1）求ABC 面积的最大值;（2）求ABC 周长的最大值。【简答】（1）定弦BC对定角，A的运动轨迹为圆弧，作ABC的外接圆圆O，当A 点处于A时，高最大，则面积最大，这时ABC为等腰三角形，（2）延长 BA到D，使得 AD=AC，连接 CD，则D=，定边BC对顶角，作BCD 的外接圆O，则AB+AC=AB+AD=BDBE=（BE 为直径），的最大值为，从而ABC 周长的最大值为。【练习】1.如图，点E是矩形ABCD 内一点，且AEB=60，
12、AB=，AD=6，则线段 DE 的最小值是 。2.如图，已知四边形ABCD 中，AD=2，B=D=60，对角线 ACAD，则 BD的最大值为 。3.如图，ABC为等边三角形，AB=2.若P为ABC内一动点，且满足PAB=ACP，则线段 PB长度的最小值为 。4.如图，在边长为的等边ABC中，AE=CD，连接 BE， AD相交于点P，则 CP 的最小值为 。5.如图，AC 为边长为的菱形 ABCD 的对角线， ABC=60，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动，连接 AM、BN，求APB 周长的最大值 。6.如图，圆O半径为6，弦AB=6，点P为优弧AB上一动
13、点，ACAP交直线PB于点C，则ABC的最大面积是 。7.如图，在四边形 ABCD中，AB=BC，ABC=60， ADC=75，对角线 BD=2，则四边形 ABCD的面积的最小值为 。类型五、定角定高【例1】已知ABC中，锐角ABC=（定值），BDAC于D，BD=m（定值），求AC的最小值.（用含、m的代数式表示）【简答】作ABC的外接圆圆O，ABC=是定值，所以点B可以看做在圆O 上运动，由于AC的长是不定的，所以圆O 的半径是不定的，设圆O的半径为r.作 OHAC于H，则H为AC的中点，根据圆周角定理可知AOH=ABC=，解得的最小值为，当B、O、H三点共线（即H与D重合）时取得最值。【拓展延伸】若将上题中的ABC改为钝角，且仍为定值，处理方法也是一样的，例如已知ABC中，ABC=120，BDAC于D，BD=5，求ABC 面积的最小值.【简答】作ABC的外接圆圆O，连接OA、OB、OC，过O 作 OHAC于H，ABC=120，易 求 得 AOH=60,设 圆O 的半 径为 r，则，解得，AC的最小值为ABC面积的最小值为【例2】如
