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1、目 录第1讲 定义新运算1第2讲 简便运算（一）4第3讲 简便运算（二）7第7讲 转化单位“1”（二）17第8讲 转化单位“1”（三）20第9讲 设数法解题23第10讲 假设法解题（一）26第11讲 假设法解题（二）29第12讲 倒推法解题32第13讲 代数法解题35第14讲 比的应用（一）38第15讲 比的应用（二）41第16讲 用“组合法”解工程问题45第17讲 浓度问题49第18讲 面积计算（一）53第19讲 面积计算（二）58第20讲 面积计算63第21周抓“不变量”解题68第22周特殊工程问题72第23周周期工程问题78第24周 比较大小89第25周最大最小问题94第26周乘法和加法
2、原理98第27周表面积与体积（一）102第28周表面积与体积（二）109第29周抽屉原理（一）117第30周抽屉原理（二）122第31周逻辑推理（一）126第32周逻辑推理（二）133第33周行程问题（一）138第34周行程问题（二）144第36周流水行船问题156第37周对策问题160第38周应用同余问题164第39周“牛吃草”问题167第40周不定方程172第1讲 定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。定
3、义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、等，这是与四则运算中的“、”不同的。新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=265*4=（5+4）+（5-4）=1013*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之差。这里的“*”就代表一种新运算。在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。因此，在13*
4、（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。练习1：1、将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)(a-b).。求27*9。3(46)3【46（4+6）2】319419（3+19）27611652、设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。3、设a*b=3ab1/2，求（25*12）*（10*5）。【答案】1.648 2.112、65 3.193.25【例题2】设p、q是两个数，规定：pq=4q-(p+q)2。求3(46)。【思路导航】根据定义先算46。在这里“”是新的运算符号。练习2：1、设p、q是两个数，规定pq4q（p+q）2，求5（64）。2、设p、q是两个数，规定pqp2+
5、（pq）2。求30（53）。3、设M、N是两个数，规定M*NM/N+N/M，求10*201/4。【答案】1.36 2.902 3.【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=_；210*2=_。7*4=7+77+777+7777=8638210*2=210+210210=210420【思路导航】经过观察，可以发现本题的新运算“*”被定义为。因此练习3：1、如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，那么4*4=_。2
6、、规定， 那么8*5=_。3、如果2*1=1/2，3*2=1/33，4*3=1/444，那么（6*3）（2*6）=_。【答案】1.4936 2.9872 3.A =（1/1/）1/ =（1/1/）= /1=（678）/（567）1= 1又3/51= 3/5【例题4】规定=123，=234 ，=345，=456，如果1/1/ =1/A，那么，A是几？【思路导航】这题的新运算被定义为： = （a1）a（a1），据此，可以求出1/1/ =1/（567）1/（678），这里的分母都比较大，不易直接求出结果。根据1/1/ =1/A，可得出A = (1/1/)1/ = （1/1/） = / 1。即练习4：
7、1、规定：=123，234，345，456，如果1/1/1/A，那么A=_。2、规定：234，345，456，567，如果1/+1/1/，那么_。3、如果121+2，232+3+4，565+6+7+8+9+10，那么x354中，x_。【答案】1. 2. 3.174144-21+1/24116x164x216+1/2x1612x3212x32 = 3412x= 66x5.5【例题5】设ab=4a2b+1/2ab,求z（41）34中的未知数x。【思路导航】先求出小括号中的41=44-21+1/24116，再根据x164x216+1/2x16 = 12x32，然后解方程12x32 = 34，求出x的
8、值。列算式为练习5：1、设ab=3a2b，已知x（41）7求x。2、对两个整数a和b定义新运算“”：ab= ，求64+98。3、对任意两个整数x和y定于新运算，“*”：x*y（其中m是一个确定的整数）。如果1*21，那么3*12_。【答案】1.9 2. 3.第2讲 简便运算（一）一、知识要点根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。二、精讲精练【例题1】计算4.75-9.63+（8.25-1.37）【思路导航】先去掉小括号，使4.75和8.25相加凑整，再运用减法的性质：abc = a（bc），使运算过程简便。所以原式4
9、.75+8.259.631.3713（9.63+1.37）13112练习1：计算下面各题。1. 6.732 又8/17+（3.271又9/17）2. 7又5/9（3.8+1又5/9）1又1/53. 14.15（7又7/86又17/20）2.1254. 13又7/13（4又1/4+3又7/13）0.75【答案】1.6 2.1 3.11 4.5【例题2】计算333387又1/279+79066661又1/4【思路导航】可把分数化成小数后，利用积的变化规律和乘法分配律使计算简便。所以：原式333387.579+79066661.2533338.75790+79066661.25（33338.75+6
10、6661.25）79010000079079000000练习2：计算下面各题：1. 3.51又1/4+125+1又1/24/52. 9750.25+9又3/4769.753. 9又2/5425+4.251/604. 0.99990.7+0.11112.7【答案】1.7.5 2.975 3.4250 4.0.9999【例题3】计算：361.09+1.267.3【思路导航】此题表面看没有什么简便算法，仔细观察数的特征后可知：36 = 1.230。这样一转化，就可以运用乘法分配律了。所以原式1.2301.09+1.267.31.2（301.09+1.267.3）1.2（32.7+67.3）1.210
11、0120练习3：计算：1. 452.08+1.537.62. 5211.1+2.67783. 481.08+1.256.84. 722.091.873.6【答案】1.150 2.2600 3.120 4.18【例题4】计算：3又3/525又2/537.96又2/5【思路导航】虽然3又3/5与6又2/5的和为10，但是与它们相乘的另一个因数不同，因此，我们不难想到把37.9分成25.4和12.5两部分。当出现12.56.4时，我们又可以将6.4看成80.8，这样计算就简便多了。所以原式3又3/525又2/5（25.4+12.5）6.43又3/525又2/525.46.412.56.4（3.6+6
12、.4）25.412.580.825480334练习4：计算下面各题：1、6.816.819.33.22、139137/1381371/1383、4.457.845.35.6【答案】1.176 2. 3.508【例题5】计算81.515.881.551.867.618.5【思路导航】先分组提取公因数，再第二次提取公因数，使计算简便。所以原式81.5（15.851.8）67.618.581.567.667.618.5（81.518.5）67.610067.66760练习5：1、53.535.353.543.278.546.52、23512.1+23542.213554.33、3.757353/85
13、73016.262.5【答案】1.7850 2.5430 3.1620第3讲 简便运算（二）一、知识要点计算过程中，我们先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运用乘法分配律来简算，这种思考方法在四则运算中用处很大。二、精讲精练【例题1】计算：1234234134124123【思路导航】整体观察全式，可以发现题中的4个四位数均由数1，2，3，4组成，且4个数字在每个数位上各出现一次，于是有原式11111211113111141111（1234）111110111111110练习1：1、23456345624562356234623452、45678567846784578456845673、124.68324.68524.68724.68924.68【答案】1.222220 2.333330 3.2623.4【例题2】计算：2又4/523.411.157.66.5428【思路导航】我们可以先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运用乘法分配律来简算。所以原式
