《高考数学一轮复习精品教案第05讲 函数的基本性质：单调性奇偶性周期性（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习精品教案第05讲 函数的基本性质：单调性奇偶性周期性（解析版）（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第05讲 函数的基本性质：单调性，奇偶性，周期性【知识点总结】一、函数奇偶性定义设为关于原点对称的区间），如果对于任意的，都有，则称函数为偶函数；如果对于任意的，都有，则称函数为奇函数.性质(1) 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2) 奇偶函数的图象特征.函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足.(4) 偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5) 若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，则
2、.(6) 运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.（7） 复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.二、函数的单调性定义一般地，设函数的定义域为D，区间，若对于任意的，当时，都有（或），则称函数在区间M上是单调递增（或单调递减）的，区间M为函数的一个增（减）区间.熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：设且，则在上是增函数过单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零.在上是减函数.性质对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增
3、=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减.若为增函数，且或），则为减函数.若为减函数，且或），则为增函数.复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.三、函数的周期性定义设函数，如存在非零常数T，使得对任何，且，则函数为周期函数，T为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期.注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D中的任何一个，都满足；若是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够
4、完全重合.性质若的周期为T，则也是函数的周期，并且有.有关函数周期性的重要结论（如表所示）函数的的对称性与周期性的关系（1） 若函数有两条对称轴，则函数是周期函数，且；（2） 若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3） 若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.【典型例题】例1（2022浙江高三专题练习）下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ）ABCD【答案】D【详解】对于A，定义域为，不关于原点对称，所以不具奇偶性，故A错误；对于B，因为，所以为非奇非偶函数，故B错误；对于C，因为，所以不是增函数，故C错误；对于D，定义域为，因为，所以是奇函数，令为增函数，
5、也是增函数，所以是增函数.故D正确.故选：D.例2（2022全国高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）A递增区间是B递减区间是C递增区间是D递增区间是【答案】D【详解】因为函数，作出函数的图象，如图所示：由图可知，递增区间是，递减区间是和故选：D例3（2022全国高三专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【详解】由题意可知，在上为减函数，则，函数在上为减函数，且有，所以，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：B.例4（2022全国高三专题练习）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，则，的大小关系为（ ）ABCD【答案】A【详解】当时，恒成立，当时，
6、即，函数在上为单调增函数，函数关于对称，又函数在上为单调增函数，（2）（3），即（2）（3），的大小关系为故选：例5（2022全国高三专题练习）若函数是奇函数，则a的值为（ ）A1B1C1D0【答案】C【详解】因为是奇函数，所以f(x)f(x)0即恒成立，所以，即 恒成立，所以，即当时，定义域为，且，故符合题意；当时，定义域为，且，故符合题意；故选：C.（多选题）例6（2022全国高三专题练习）（多选）已知为奇函数，且，当时，则（ ）A的图象关于对称B的图象关于对称CD【答案】ABD【详解】因为为奇函数，所以即，所以的图象关于对称故选项B正确，由可得，由可得，所以，可得，所以，所以周期为4，所
7、以的图象关于对称，故选项A正确，.故选项D正确，选项C不正确.故选: ABD例7（2022浙江高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且（1）确定函数的解析式；（2）用定义法证明在上是增函数；（3）解关于x的不等式【解析】（1）由题意，函数是定义在上的奇函数，可得，即，可得，即，又由，可得，解得，所以，经验证，此时满足，所以函数为奇函数.所以函数的解析式为，（2）解：设且，则，因为且，可得，所以，即，所以函数在区间上是增函数.（3）因为函数是定义在上的奇函数，则不等式可化为，又因为函数在区间上是增函数，可得，解得，即不等式的解集为【技能提升训练】一、单选题1（2022全国高三专题练习）已知函
8、数满足对任意x1x2，都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0成立，则a的取值范围为（）AB(0，1)CD(0，3)【答案】A【分析】根据给定不等式可得函数f(x)为减函数，再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.【详解】因对任意x1x2，都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0成立，不妨令x1f(x2)，于是可得f(x)为R上的减函数，则函数在上是减函数，有，函数在上是减函数，有，即，并且满足：，即，解和，综上得，所以a的取值范围为.故选：A2（2022全国高三专题练习）已知函数为上的偶函数，对任意，均有成立，若，则的大小关系是（ ）ABCD【答案】D【分析】根据条件判断函数的单调性，
9、然后利用单调性进行比较即可【详解】解：对任意，均有成立，此时函数在区间为减函数，是偶函数，当时，为增函数，因为，所以，因为，所以，所以，所以，即.故选：D3（2022全国高三专题练习）已知函数（ ）A是奇函数，单调递增B是奇函数，单调递减C是偶函数，单调递减D是偶函数，单调递增【答案】D【分析】利用奇偶性和单调性的定义判断即可【详解】解：定义域为，因为，所以为偶函数，任取，且，则，因为，所以，所以，所以在单调递增，故选：D4（2022全国高三专题练习（理）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】先求出抛物线的对称轴，而抛物线的开口向下，且在区间上单调递增，所以，从而
10、可求出的取值范围【详解】解：函数的图像的对称轴为，因为函数在区间上单调递增，所以，解得，所以的取值范围为，故选：D5（2022上海高三专题练习）函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【详解】，且，函数为单调递增的奇函数于是，可以变为，即，而，可知实数，故实数的取值范围为故选：C.6（2022全国高三专题练习）已知函数是定义在上的增函数，则满足的实数的取值范围（ ）ABCD【答案】D【分析】根据函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】因为函数是定义在上的增函数，则满足，所以，解得.故选：D.7（2022全国高三专题练习）已知减函数，若，则实数m的取值范围为（
11、 ）ABCD【答案】C【分析】根据函数奇偶性和单调性，列出不等式即可求出范围.【详解】易知为R上的奇函数，且在R上单调递减，由，得，于是得，解得.故选:C.8（2022全国高三专题练习）设函数，则满足的x取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】设，将原不等式化为，再根据的奇偶性和单调性可求出结果.【详解】设，则，所以可化为，即，也就是，因为，所以为奇函数，所以，因为，当且仅当时取等号，所以为单调递增函数，所以，得.所以满足的x取值范围是.故选：A9（2022全国高三专题练习）设奇函数f(x)在(0，+)上为单调递减函数，且f(2)=0，则不等式0的解集为（ ）A(-，-2(0，2B-2，0)
12、2，+)C(-，-22，+)D-2，0)(0，2【答案】D【分析】由给定条件可得函数f(x)在(0，2)上的函数值为正，在(2，+)上的函数值为负，利用奇函数的性质化简不等式，解出不等式即得.【详解】因函数f(x)在(0，+)上为单调递减函数，且f(2)=0，即函数f(x)在(0，2)上的函数值为正，在(2，+)上的函数值为负，又f(x)是奇函数，于是得，因此，当x0时，则有0x2，当x0时，f(x)0，由奇函数的性质得-2x0，综上，不等式0的解集为-2，0)(0，2.故选：D10（2022全国高三专题练习）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在0，1上是减函数，则有（ ）A
13、fffBfffCfffDfff【答案】C【分析】首先判断函数的周期，以及对称性，画出函数的草图，即可判断选项.【详解】因为f(x2)f(x)，所以f(x22)f(x2)f(x)，所以函数的周期为4，并且，所以函数关于对称，作出f(x)的草图(如图)，由图可知，故选：C11（2022上海宝山一模）已知函数，则（ ）A是奇函数，且在上是增函数B是偶函数，且在上是增函数C是奇函数，且在上是减函数D是偶函数，且在上是减函数【答案】A【分析】根据函数的单调性与奇偶性的定义判断.【详解】定义域为，且，是上的奇函数，又是上的增函数，是上的减函数，所以函数是上的增函数，故选：A.12（2022湖南雅礼中学高三阶段练习）已知为偶函数，当时，则曲线在点处的切线斜率是（ ）A1B2CD【答案】B【分析】利用偶函数求的解析式再求导，根据导数的几何意义即可求处的切线斜率.【详解】设，则，又为偶函数，则对应导函数为，即所求的切线斜率为2.故选：B13（2022全国高三专题练习）设为奇函数，且当时，则当时，（ ）AB
