《2022-2023学年湖南省长沙市高二年级下册学期第二次阶段性考试数学试题【含答案】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年湖南省长沙市高二年级下册学期第二次阶段性考试数学试题【含答案】（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2022-2023学年湖南省长沙市高二下学期第二次阶段性考试数学试题一、单选题1已知全集，若，则（）ABCD【答案】D【分析】化简集合，根据补集和交集的概念运算可得结果.【详解】，或，所以.故选：D2设复数，则的虚部是（）ABCD【答案】B【分析】对复数计算化简后可求出复数的虚部【详解】因为，所以的虚部是.故选：B.3设为正实数，且，则的最小值为（）ABCD【答案】C【分析】由可得，则，化简后利用基本不等式可求得结果.【详解】因为为正实数，且，所以，所以，当且仅当，即，即时等号成立.所以的最小值为.故选：C.4函数的大致图像为（）ABCD【答案】A【分析】利用排除法，先利用函数值正负的分布判断
2、B错误，再利用特殊值判断D错误,根据极值点确定C错误，即得答案.【详解】函数中，当时,看图像知B选项错误；函数中，当时, 看图像知D选项错误；解得，故为函数的极值点，故C选项不符合，A选项正确.故选：A.5已知为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，则球的表面积为（）ABCD【答案】B【分析】设圆半径为，球的半径为，则由题意可得，由正弦定理可求出，从而可求出，则可求出球的半径，进而可求出球的表面积.【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意得，解得，为等边三角形，由正弦定理可得，根据球的截面性质平面，平面，球的表面积.故选：B.6已知抛物线C：的焦点为F，是C上两点，若则（）ABCD2【答案
3、】D【分析】根据抛物线定义计算即可.【详解】由抛物线定义可得，则.故选：D7以罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且在开区间内存在导函数，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在区间上的中值点.若关于函数在区间上“中值点”个数为，函数在区间上“中值点”的个数为，则（）ABCD【答案】C【分析】先求出的导函数，由拉格朗日中值定理可得，故该方程根的个数为即为函数在区间上“中值点”的个数，由函数的零点与方程的根的关
4、系即可求解.【详解】设在闭区间上的中值点为，由，由拉格朗日中值定理可得：，因为，所以，可得，即，作出函数和的图象如图：由图可知，函数和的图象在上有两个交点，所以方程在上有两个解，即函数在区间上有2个中值点，所以，只有符合，故选：C.81765年数学家欧拉在柏林皇家科学院的学报上发表了一个抽彩问题：设张彩票编号从1至，随机抽取三张，那么抽到三张彩票没有连续号码的概率为多少？该问题的结果用组合数可表示为（）ABCD【答案】A【分析】直接法：相当于把三个相同的物品，插入到个相同物品之间和两端共个位置中，结合组合数公式与古典概型公式求解；间接法：求出抽到三张连续号码及抽到仅有两张连续号码的概率，从而可
5、得抽到没有连续号码的概率.【详解】直接法：相当于把三个相同的物品，插入到个相同物品之间和两端共个位置中，一种插法对应一种抽取彩票的抽法，其概率为.间接法：抽到三张连续号码的概率为，抽到仅有两张连续号码的概率为，则抽到没有连续号码的概率为，故选：A.二、多选题9下列关于平面向量的说法中正确的是（）A已知均为非零向量，若，则B若且，则存在唯一的实数，使得C若且，则D设向量满足，则【答案】AB【分析】对于A，由共线向量的定义判断，对于B，由共线向量定量判断，对于C，由已知可得，从而可判断，对于D，对两边平方化简可求出，再由可求得结果.【详解】对于A，因为均为非零向量，所以，所以A正确，对于B，因为且
6、，所以由平面向量共线定理可得存在唯一的实数，使得，所以B正确，对于C，由，得，所以，所以不一定有，所以C错误，对于D，因为，所以，得，因为，所以，所以，所以D错误.故选：AB.10已知函数则下列结论正确的是（）A当时，函数B函数的值域是C函数的值域为D若方程有且仅有一解，则的取值范围为【答案】ACD【分析】根据解析式直接计算可判断A，由图象可判断BC，根据图象及函数的单调性判断D.【详解】当时，故A成立；作出函数的图象，如图，由图知，当时，时，可知函数，即函数的值域是，故B选项错误；函数的值域为函数的值域，此时由图象知值域是，故选项正确；结合函数图象，易知时，且在上单调递增.当时，由，可得存在
7、唯一的，使得.进而存在唯一的，使得；当时，可得存在，使得，而不存在唯一使，故不合题意；当时，由图象可知无解，不合题意；综上所述：，故选项正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：能够根据对函数解析式的理解，做出函数的图象，是本题解题的关键，再由数形结合，可得函数值域，可判断CD .11已知点在圆：上，点，则（）A点到直线的距离的最小值是B的取值范围是C的取值范围是D当为直角三角形时，其面积为3【答案】ACD【分析】根据圆心到直线的距离即可判断A；由，求出的范围，即可判断B；当到圆相切时，若点在第一象限，此时最小，若点在第二象限，此时最大，通过角度的计算得出的取值范围，即可判断C；当为直角三角形时，
8、求出点到直线的距离，进而求出面积即可判断D【详解】由题可知直线的方程为：，对于A：因为圆心到直线的距离是，所以点到直线的距离的最小值是，故A正确；对于B：记线段的中点为，则，则，因为，所以的取值范围是，故B错误；对于C：由题可知， 当到圆相切时，若点在第一象限，此时最小，因为，所以，所以；若点在第二象限，此时最大，同理可得，所以的取值范围是， 故C正确；对于D：因为的取值范围是，同理可得的取值范围是，所以当为直角三角形时，则，设点坐标为，则，得点在直线上，所以点到直线的距离为，所以面积为，故D正确；故选：ACD12在直四棱柱中，底面为平行四边形，为中点，点满足.下列结论正确的是（）A若，则四面
9、体的体积为定值B平面截直四棱柱的截面周长为C若平面，则的最小值为D若，则点的轨迹长度为【答案】ACD【分析】在直四棱柱中，由题意逐项分析即可.【详解】对于，因为，所以三点共线，即点在上，因为平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离为定值，因为的面积为定值，所以四面体的体积为定值，所以正确；对于，如图，由面面平行的性质定理可知PQ/A1B，则Q为C1D1的中点，补全截面为四边形，因为，所以，所以由余弦定理得：，所以，可得周长为，所以错误；对于，取的中点分别为，连接，则，因为平面平面，所以平面，因为，所以，因为平面平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，所以当时，最小，因为，所
10、以.所以，所以重合，所以的最小值为，所以正确；对于，过作于点，可得平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，在上取点，使得，则，所以若，则在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，因为，所以，则圆弧等于，所以D正确，故选：ACD.三、填空题13已知，则 .【答案】/【分析】由两角和的正切公式可得出关于的等式，解出的值，在利用二倍角的正切公式可求得的值.【详解】由得，所以.故答案为：.14已知ABC为等边三角形，点O为ABC的中心，若以A、O为双曲线E的两顶点，且双曲线E过点B，则双曲线E的离心率为 .【答案】【分析】建立坐标系，设出双曲线的方程，利用双曲线E过点B，求得b的值，进而计算c,求得离心率.【
11、详解】如图，不妨设为的中点，则=,以的中点为原点，方向为x轴，的中垂线为轴建立直角坐标系如图所示，,即双曲线的半实轴 ,双曲线的方程可以设为：，将的坐标,代入解得,故答案为：.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，关键是建立坐标系，利用方程方法求解.四、双空题15在一个抽奖游戏中，主持人从编号为、的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，现在已知甲选择了号箱，则 ；
12、.【答案】 / 【分析】分析出：若奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，可求得的值；求得，对奖品所在的箱子进行分类讨论，求出的值，再利用全概率公式可求得的值.【详解】奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故；奖品随机等可能分配到四个箱子中，因此、的概率均为，奖品在号箱里，主持人可打开、号箱，故，奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故，奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故，奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故，由全概率公式可得：.故答案为：；.五、填空题16定义为与距离最近的整数，令函数，如： .【答案】19【分析】令，则，即，所以，满足此不等式的正整数的个数有，即共有个数，由此求解即可得出答
13、案.【详解】令，则，即，即，所以，满足此不等式的正整数的个数有，即共有个数；时则有2个，即；时则有4个，即；时则有6个，即；时则有18个，即，（其中）；又，所以，其中共有10个数；所以.故答案为：19.六、解答题17已知数列的首项.(1)证明：为等比数列；(2)证明：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）对两边加1，变形可得，从而可证得结论；（2）由（1）可求出，则可求出，然后利用裂项相消法可求出，再利用放缩法可证得结论.【详解】（1），又是以4为首项，以2为公比的等比数列.（2）由（1）得，.18已知函数（1）当时，分别求函数取得最大值和最小值时的值；（2）设的内角的对应边分别是且，求的值，【答案】（1）时，取得最大值0；时，取得最小值；（2）或【分析】(1)先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求;(2)已知先求A,然后结合余弦定理即可求解c.【详解】（1），当，即，得时，取得最大值0；当，即，得时，取得最小值（2）且，由余弦定理A得，解得或另解：且，由正弦定理有，则或，当时，由勾股定理有当时，则综上，或19如图，为圆的直径，点在圆上，且为等腰梯形，矩形和圆所在的平面互相垂直，已知.(1)求证：平面平面；(2)当的长为何值时，平
