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1、 苏科版七年级数学上册思维提优特训(2)线段上的动点问题方法点津 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类问题解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题解题时要注意动点的起始位置和终止位置、运动方向，有时还要关注动点的运动速度，注意在运动过程中寻找等量关系线段上的动点问题一般有两种类型：(1)动点无速度型，主要利用两点间的距离、线段的和差关系、线段中点的性质，结合方程求解；(2)动点有速度型，主要利用路程时间速度，结合线段有关的知识，通过方程来求解典题精练 类型一动点无速度型1如图1所示，A，B，C是一条公路边的三个村庄，A，B间的
2、距离为100 km，A，C间的距离为40 km，现要在A，B之间设一个车站P，设P，C间的距离为x km.(1)用含x的式子表示车站到三个村庄的距离之和；(2)若车站到三个村庄的距离之和为105 km，则车站应设在何处？(3)若要使车站到三个村庄的距离之和最小，则车站应设在何处？图12如图2，某公司有三个住宅小区A，B，C，A，B，C各小区分别住有职工30人、15人、10人，且这三个小区在一条大道上(即A，B，C三点共线)，已知AB100米，BC200米，为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在某小区设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应该设在哪个小区？图2
3、3已知数轴上A，B两点对应的数分别为a和b，且a，b满足等式(a9)2|7b|0，P为数轴上一动点，对应的数为x.(1)求线段AB的长(2)数轴上是否存在点P，使PA3PB？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由(3)在(2)的条件下，若M，N分别是线段AB，PB的中点，试求线段MN的长类型二动点有速度型4如图3，P是线段AB上任意一点，AB12 cm，C，D两点分别从点P，B开始，同时向点A运动，且点C的运动速度为2 cm/s，点D的运动速度为3 cm/s，运动的时间为t s.(1)若AP8 cm.求运动1 s后，CD的长；当点D在线段PB上运动时，试说明AC2CD.(2)如果t2，CD1
4、 cm，试探索AP的长图35如图4，B是线段AD上一动点，沿AD以2 cm/s的速度运动，C是线段BD的中点，AD10 cm，设点B运动的时间为t s.(1)当t2时，AB_ cm；求线段CD的长(2)在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由图46如图5甲，O是线段AB上一点，C，D两点分别从O，B同时出发，以2 cm/s，4 cm/s的速度在直线AB上运动，点C在O，A之间，点D在O，B之间(1)设C，D两点同时沿直线AB向左运动t s时，ACOD12，求的值；(2) 在(1)的条件下，若C，D两点运动s后都停止运动，此时恰有ODACB
5、D，求CD的长；(3)在(2)的条件下，将线段CD在线段AB上左右滑动如图5乙(点C在O，A之间，点D在O，B之间)，若M，N分别为AC，BD的中点，试说明线段MN的长度始终不发生变化图5详解详析1解：(1)如图，当点P在线段BC上时，车站到三个村庄的距离之和为PAPBPC40x100(40x)x(100x)km；如图，当点P在线段AC上时，车站到三个村庄的距离之和为PAPCPB40xx60x(100x)km.综上所述，车站到三个村庄的距离之和为(100x)km.(2)由(1)得100x105，解得x5.答：车站设在C村左侧或右侧5 km处(3)当x0时，x100100，此值最小答：车站设在C
6、村时到三个村庄的距离之和最小2解：以A小区为停靠点，则所有人的路程之和为15100103004500(米)，以B小区为停靠点，则所有人的路程之和为30100102005000(米)，以C小区为停靠点，则所有人的路程之和为303001520012000(米)因为4500500012000，所以该停靠点的位置应设在A小区3解：(1)由(a9)2|7b|0，得a90，7b0.解得a9，b7.所以线段AB的长为ba7(9)16.(2)当点P在线段AB上时，PAPBAB，即3PBPBAB16，PB4，此时7x4，解得x3；当点P在线段AB的延长线上时，PAPBAB，即3PBPBAB16，PB8，此时x7
7、815.综上所述，x的值为3或15.(3)当点P在线段AB上时，由M，N分别是线段AB，PB的中点，得MBAB8，NBPB2.由线段的和差，得MNMBNB826；当点P在线段AB的延长线上时，由M，N分别是线段AB，PB的中点，得MBAB8，NBPB4.由线段的和差，得MNMBNB8412.综上所述，MN的长为6或12.4解：(1)由题意可知：CP212(cm)，DB313(cm)，因为AP8 cm，AB12 cm，所以PBABAP4 cm，所以CDCPPBDB2433(cm)因为AP8 cm，AB12 cm，所以PB4 cm，AC(82t)cm，所以DP(43t)cm，所以CDCPDP2t4
8、3t(4t)cm，所以AC2CD.(2)当t2时，CP224(cm)，DB326(cm)当点D在点C的右边时，如图所示：因为CD1 cm，所以CBCDDB7 cm，所以ACABCB5 cm，所以APACCP9 cm；当点D在点C的左边时，如图所示：因为ADABDB6 cm，所以APADCDCP11 cm.综上所述，AP9 cm或11 cm.5解：(1)因为B是线段AD上一动点，沿AD以2 cm/s的速度运动，所以当t2时，AB224(cm)因为AD10 cm，AB4 cm，所以BD1046(cm)因为C是线段BD的中点，所以CDBD63(cm)(2)不变因为AB的中点为E，C是线段BD的中点，
9、所以EBAB，BCBD，所以ECEBBC(ABBD)AD105(cm)6解：(1)设ACx cm，则OD2x cm，又因为OC2t cm，BD4t cm，所以OA(x2t)cm，OB(2x4t)cm，所以.(2)设ACx cm，则OD2x cm，又OC25(cm)，BD410(cm)，由ODACBD，得2xx10，解得x5，所以OD2510(cm)，所以CDODOC10515(cm)(3)在(2)中有AC5 cm，BD10 cm，CD15 cm，所以ABACBDCD30 cm.设AMCMm cm，BNDNy cm，因为2m152y30，所以my7.5，所以MNCMCDDNm15y22.5(cm)即线段MN的长度始终是22.5 cm.7
