全国硕士研究生考试真题及答案解析《数学一》（2021年、2022年共2套）

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1、12021 考研数学真题试卷考研数学真题试卷(数学一数学一)数学（一）数学（一）一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分分.每小题给出的四个选项中，只每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）(1)函数1,0()=1,0 xexf xxx,在0 x 处(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为 0.(D)可导且导数不为 0.(2)设函数,f x y可微，且2(1,)(1)xf xex x，22(,)2ln

2、f x xxx，则(1,1)df(A)dxdy.(B)dxdy.(C)dy.(D)dy.(3)设函数2sin()1xf xx在0 x 处的 3 次泰勒多项式为23axbxcx，则(A)71,0,6abc.(B)71,0,6abc.(C)71,1,6abc .(D)71,1,6abc .(4)设函数 f x在区间0,1上连续，则 10f x dx(A)1211lim22nnkkfnn.(B)121 1lim2nnkkfnn.(C)211 1lim2nnkkfnn.(D)2012lim2nxkkfnn.(5)二次型222123122331(,)()()()f x xxxxxxxx的正惯性指数与负惯

3、性指数依次为(A)2,0.(B)1,1.(C)2,1.(D)1,2.(6)已知1101 ，2121 ，3312 ，记11，221k，331122ll，若1，2，3两两正交，则1l，2l依次为(A)5 1,.2 2(B)5 1,.2 2(C)51,.22(D)51,.22(7)设,A B为n阶实矩阵，下列不成立的是(A)2TAOrr AOA A(B)2TAABrr AOA2(C)2TABArr AOAA(D)2TAOrr ABAA(8)设A，B为随机事件，且0()1P B，下列命题中不成立的是(A)若(|)()P A BP A，则(|)()P A BP A.(B)若(|)()P A BP A，则

4、(|)()P A BP A(C)若(|)(|)P A BP A B，则(|)()P A BP A.(D)若(|)(|)P A ABP A AB，则()()P AP B.(9)设 1122,nnX YXYXY为来自总体221212,;,;N 的简单随机样本，令121111,nniiiiXX YYXYnn则(A)是的无偏估计，2212Dn(B)不是的无偏估计，2212Dn(C)是的无偏估计，2212122Dn(D)不是的无偏估计，2212122Dn(10)设1216,XXX是 来 自 总 体,4N的 简 单 随 机 样 本，考 虑 假 设 检 验 问 题：01:10,:10.HH x表示标准正态分

5、布函数，若该检验问题的拒绝域为11WX，其中161116iiXX，则11.5时，该检验犯第二类错误的概率为(A)10.5(B)11(C)11.5(D)12二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.请将答案写在答题纸指定位置请将答案写在答题纸指定位置上上.）(11)2022dxxx.(12)设函数()yy x由参数方程221,04(1),0ttxetxytetx 确定,则202td ydx.(13)欧拉方程240 x yxyy满足条件(1)1,(1)2yy得解为y.(14)设为 空 间 曲 线 区 域22(,)44,02x y z xyz表

6、 面 的 外 侧，则 曲 面 积 分22x dydzy dzdxzdxdy.(15)设ijAa为 3 阶矩阵，ijA为代数余子式，若A的每行元素之和均为 2，且3A，112131AAA=.(16)甲乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令X,Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系3数.三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤出文字说明、证明过程或演算步骤.）(17)(本题

7、满分 10 分)求极限20011lim1sinxtxxe dtex.(18)(本题满分 12 分)设11()(1,2,)(1)nxnnuxexnn n，求级数1()nnux的收敛域及和函数.(19)(本题满分 12 分)已知曲线2226:4230 xyzCxyz，求C上的点到xoy坐标面距离的最大值.(20)(本题满分 12 分)设2DR是有界单连通闭区域，22()(4)DI Dxy dxdy取得最大值的积分区域记为1D.(1)求1()I D的值.(2)计算222214422()(4)4xyxyDxey dxyex dyxy，其中1D是1D的正向边界.(21)(本题满分 12 分)已知1111

8、11aAaa.(1)求正交矩阵P,使得TP AP为对角矩阵；(2)求正定矩阵C,使得2(3).CaEA(22)(本题满分 12 分)在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X,较长的一段长度记为Y,令YZX.(1)求X的概率密度；(2)求Z的概率密度.(3)求XEY.12021 考研数学真题及答案解析考研数学真题及答案解析数学（一）数学（一）一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分分.每小题给出的四个选项中，只每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上有一个选项是符

9、合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）(1)函数1,0()=1,0 xexf xxx,在0 x 处(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为 0.(D)可导且导数不为 0.【答案答案】D.【解析解析】因为001lim()=lim1(0)xxxef xfx，故()f x在0 x 处连续；因为200011()(0)11lim=limlim002xxxxxef xfexxxxx，故1(0)2f，正确答案为 D.(2)设函数,f x y可微，且2(1,)(1)xf xex x，22(,)2lnf x xxx，则(1,1)df(A)dxdy.(B)dxdy.(C)dy

10、.(D)dy.【答案答案】C.【解析解析】212(1,)(1,)(1)2(1)xxxf xee fxexx x2212(,)2(,)4 ln2fx xxfx xxxx分别将00 xy，11xy带入式有12(1,1)(1,1)1ff，12(1,1)2(1,1)2ff联立可得1(1,1)0f，2(1,1)1f，12(1,1)(1,1)(1,1)dffdxfdydy，故正确答案为 C.(3)设函数2sin()1xf xx在0 x 处的 3 次泰勒多项式为23axbxcx，则(A)71,0,6abc.(B)71,0,6abc.(C)71,1,6abc .(D)71,1,6abc .【答案】A.【解析】

11、根据麦克劳林公式有3323332sin7()()1()()166xxf xxo xxo xxxo xx2故71,0,6abc，本题选 A.(4)设函数 f x在区间0,1上连续，则 10f x dx(A)1211lim22nnkkfnn.(B)121 1lim2nnkkfnn.(C)211 1lim2nnkkfnn.(D)2012lim2nxkkfnn.【答案】B.【解 析】由 定 积 分 的 定 义 知，将0,1分 成n份，取 中 间 点 的 函 数 值，则10121 1()lim,2nnkkf x dxfnn即选 B.(5)二次型222123122331(,)()()()f x xxxxx

12、xxx的正惯性指数与负惯性指数依次为(A)2,0.(B)1,1.(C)2,1.(D)1,2.【答案答案】B.【解析解析】22221231223312122313(,)()()()2222f x xxxxxxxxxx xx xx x所以011121110A，故特征多项式为11|121(1)(3)11EA 令上式等于零，故特征值为1，3，0，故该二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 1.故应选 B.(6)已知1101 ，2121 ，3312 ，记11，221k，331122ll，若1，2，3两两正交，则1l，2l依次为(A)5 1,.2 2(B)5 1,.2 2(C)51,.22(D)51,.2

13、2【答案】A.【解析】利用斯密特正交化方法知21221110,2,0 ，313233121122,，故31111,5,2l，32222,1,2l，故选 A.(7)设,A B为n阶实矩阵，下列不成立的是3(A)2TAOrr AOA A(B)2TAABrr AOA(C)2TABArr AOAA(D)2TAOrr ABAA【答案】C.【解析】(A)()()2().TTAOrr Ar A Ar AOA A故A正确.(B)AB的列向量可由A的列线性表示，故()()2().0TTTAABAOrrr Ar Ar AOAA(C)BA的列向量不一定能由A的列线性表示.(D)BA的行向量可由A的行线性表示，()(

14、)2().0TTTABAAOrrr Ar Ar AOAA本题选 C.(8)设A，B为随机事件，且0()1P B，下列命题中不成立的是(A)若(|)()P A BP A，则(|)()P A BP A.(B)若(|)()P A BP A，则(|)()P A BP A(C)若(|)(|)P A BP A B，则(|)()P A BP A.(D)若(|)(|)P A ABP A AB，则()()P AP B.【答案】D.【解析】()()(|)()()()()P A ABP AP A ABP ABP AP BP AB()()()()(|)()()()()()P A ABP ABP BP ABP A AB

15、P ABP ABP AP BP AB因为(|)(|)P A ABP A AB，固有()()()P AP BP AB，故正确答案为 D.(9)设 1122,nnX YXYXY为来自总体221212,;,;N 的简单随机样本，令121111,nniiiiXX YYXYnn则(A)是的无偏估计，2212Dn(B)不是的无偏估计，2212Dn(C)是的无偏估计，2212122Dn(D)不是的无偏估计，2212122Dn【答案】C.【解析】因为,X Y是二维正态分布，所以X与Y也服从二维正态分布，则XY也服从二维正态分布，即12()()()()EE XYE XE Y，42212122()()()()co

16、v(,)DD XYD XD YX Yn，故正确答案为 C.(10)设1216,XXX是 来 自 总 体,4N的 简 单 随 机 样 本，考 虑 假 设 检 验 问 题：01:10,:10.HH x表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为11WX，其中161116iiXX，则11.5时，该检验犯第二类错误的概率为(A)10.5(B)11(C)11.5(D)12【答案】B.【解析】所求概率为11P X 1(11.5,)4XN，11.511 11.5111(1)1122XP XP 故本题选 B.二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.请将答案写在答题纸指定位置请将答案写在答题纸指定位置上上.）(11)2022dxxx.【答案答案】4【解析解析】22000arctan(1)22(1)1244dxdxxxxx(12)设函数()yy x由参数方程221,04(1),0ttxetxytetx 确定,则202td ydx.【答案答案】23.【解析解析】由4221ttdytetdxe，得223(442)(21)(42)2(21)ttttttd