《2021年北京市高考数学试卷（学生版+解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年北京市高考数学试卷（学生版+解析版）（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2021年北京市高考数学试卷一、选择题共10小题，每小题4 分，共 40分。在每小题列出的的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.（4 分）己知集合 4=x|-IV x V l,8=x|0W xW 2,则 A U B=（）A.x|0 xl B.x|-l x 2 C.x|lxW2 D.x|0 x心 0)过点A (0,-2),以四个顶点围成的四2 ,2a b边形面积为4 泥.(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点尸(0,-3)的直线/斜率为我,交椭圆E于不同的两点8,C,直线A B、AC交 y=-3于点M、N,若1 P M+|P N|W 1 5,求人的取值范围.2 1.(1 5 分)定 义 即 数
2、 列 ”“：对 p e R,满足：ai+p 2 0,“2+p =0;V6N*,4 4-1 4 4；V”eN*,a)n+n&am+an+p Clm+an+p+1 .(1)对前4项 2,-2,0,1 的数列，可以是R 2 数列吗？说明理由；(2)若 而 是 R o 数列，求“5 的值；(3)若的是数列 曲的前项和,是否存在p R,使得存在仲数列 a,对任意“6N*,满足S”2 S i。？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由.2021年北京市高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4 分，共 40分。在每小题列出的的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.(4 分)已知集合
3、人=川-8=x|0W xW 2,则 A U 8=()A.x|0Wxl B.x|-l xW 2 C.x|lxW2 D.A|0X1【解答】解：VA=x|-1X1,8=x|0WxW2,.AUB=x|-1 x 1 U x|0WxW2=x|-1 VxW2.故选：B.2.(4 分)在复平面内，复数z满 足(l-iA z=2,则 2=()A.2+i B.2-j C.1 -z D.1+z【解答】解：因 为(l-i)z=2,所以2z:rl-i2(l+i)(l-i)(l+i)-1+i-故选：D.3.(4 分)设函数/(x)的定义域为 0,1,则“函数/(x)在 0,1 上单调递增”是“函数f(x)在 0,1 上的
4、最大值为了(I)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解答】解：若函数/(x)在 0,1 上单调递增，则函数f(x)在 0,1 上的最大值为/(I),若/(x)=(x-1)2,则函数/(x)在 0,1 上的最大值为/(I),2但函数在 0,1 上不单调，故选：A.4.(4 分)某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为()11 1A.B.4 C.3+V3 D.22【解答】解：由三视图还原原几何体如图，阴，底面 A B C,ABLAC,PA=AB=ACl,则5 c是边长为我的等边三角形，则该四面体的表面积为S=3 x/x i x 1营 乂、历*
5、正 义 亨 卫 署故选：A.2 25.（4分）双 曲 线 仁 号-%=1过点（血，遂），离心率为2,则双曲线的解析式为（）bz2 2 2 2C.2 _ _ 2 _=i D.三-2一=12 3 3 22 2【解答】解：因为双曲线过点（&,“），a 0则有7=1，a b又离心率为2,则 a V a2由可得，a2=l,b2=3,所以双曲线的标准方程为x 2_ X：=i.x 3故 选:B.6.(4分)已知 如 和 丛 是 两 个 等 差数列,且至(1 WZ5)是常值，若 m=288,45=96,bk从=192,则 用 的 值 为()A.64 B.10 0 C.128 D.132【解答】解：和 氏 是两
6、个等差数列，且(1 W A W 5)是常值，由于a=288,asb u=96,a 1 +a u故23=%5=192,由 于 此 小 1 上 盥 3b3 b 1 192 2所以历=128.故选：C.7.(4分)已知函数/(x)=cosx -cos2x,试判断该函数的奇偶性及最大值()A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2c.奇函数，最大值为a D.偶函数，最大值为a8 8【解答】解：因为/(冗)=cosx -cos2x=cosx -(2COS2X-1)=-2cos2x+cosx+1,因为/(-x)=-2cos2(-x)+cos(-x)+1=-2cos2x+cosx+1 =/(x),故函数
7、/(x)为偶函数，令，=cosx,则正-1,1,故/(f)=-2及+什1是开口向下的二次函数，所 以 当 尸 1一 时，/取得最大值/(2)=-2 X (1)2+1+=1,2X (-2)4 4 4 4 8故函数的最大值为2.8综上所述，函数/a）是偶函数，有最大值2.8故选：D.8.（4 分）对 24小时内降水在平地上的积水厚度（机?）进行如下定义：0 10 10 25 2550 50-10 0小雨 中雨 大雨 暴雨小明用一个圆锥形容器接了 24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级（）C.大雨D.暴雨【解答】解：圆锥的体积为v Shr2 兀h，因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，所以圆锥
8、内积水部分的半径为/x-X 2 00=5 0m m,将 r=5 0,九=150 代入公式可得 V=1250 0 0 i r （m m3）,图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高,平底上积水的体积为V=S ，且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积,所以s=兀吗X 20 0 ）2=10 0 0 0 兀 C）,则平地上积水的厚度1=125000冗。相），10 0 0 0 7T因为 10 12.5 aio=12,即可继续增大,=10非最大值，当=12 时，412=14,512=102,V 100-512=100-1 0 2/)R=4+2/,:R=2,即=2,b=2,c=21/,Z V I
9、 B C存在且唯一确定,设8 c的中点为。,：.CD=,在A C。中，运用余弦定理，AZ2=A C2+CZ)2-2AC C)COS/C,BPAD2=4+1-2X2X IX A D=5,；.B C边上的中线的长度 板.选面积为SAABC=,4 71 A=B=7-,6SAABC=absinC=ya2 X 零 要 或 解 得”=“,余弦定理可得AD2=AC2+CD2-2XACXCDXA D p2 兀=。3 7cos 3-t+V3 X册_21T T1 7.(1 3分)已知正方体A B C。-A i B i Ci D i,点E为A i O i中点，直线B i Ci交平面 8E于点F.(1)求证：点尸为8
10、 1 c l中点;(2)若点M 为棱A181上一点，且 二 面 角 CF-E的余弦值为近，求 上 巴3 A/1【解答】(1)证明：连结。E,在正方体 A8CD-4B1C1Q1 中，CD/CD,CiOiu平面 AiBiCiDi,CQC平面 A181C1Q1,则 CQ平面 A iB iC iQ i,因为平面 AiBiCiQm 平面 CDEF=EF,所以 C D EF,则 EF CiOi,故 Ai8iE尸C D,又因为AiiBCi,所以四边形A181EF 为平行四边形，四边形EF C1。为平行四边形，所以 AiE=BiF,EDi=FCi,而点E 为A iD i的中点，所以4E=EZ)i,故 B iF
11、=FC i,则点尸为81C1的中点；(2)解：以点B i为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体边长为2,设点M(m，0,0),且 加 0,贝|J C(O,2,-2),(-2,1,0),F(0,1,0),故 而=(-2,0,0),C F=(O,1,-2),M F=(m,-1,0)设平面C M F的法向量为去(a,b,1)，则 可=。,即 啊4=0,m-C F=0 1 b-2=0所以 a ，b=2,故 m=(2,2,1)，m m设平面8 E 尸的法向量为】=&,y,1),则,F 巴=0,即卜2 x=0,n-C F=0 ly-2=0所以x=0,y=2,故=(o,2,1)1因为二面角M-CF-
12、E 的余弦值为则|co s I 其 二!I m I I n I=s,+1 X 22+l 3解得机=1,又加VO,所以m=-1,故上11”4B18.(14分)为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取”合 1检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人，已知其中2 人感染病毒.(1)若采用“10合 1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；已知10人分成一组，分 10组，两名感染患者在同一组的概率为工，定义随机变量X11为总检测次数，求检测次数X 的分布列和数学期望E(X)：(2)若采用“5 合 1检测法”
13、，检测次数y 的期望为E(Y),试比较E(X)和 E(丫)的大小.(直接写出结果)【解答】解：(1)若采用“10合 1检测法”，每组检查一次，共 10次；又两名患者在同一组，需要再检查10次，因此一共需要检查2 0次.由题意可得：X=2 0,3 0.P(X=2 0)=工，P(X=3 0)=也.1 1 1 1可得分布列：X 2 0 3 0P 工 也五1 1E(X)=2OXA.+3OX12.=-320.1 1 1 1 1 1(2)由题意可得：丫=2 5,3 0.39 v n oP(y=2 0)=2 0 X，、州=.c51 0 0可得分布列：A,p(y=3 0)=变9 9 9 9Y2 53 0P49
14、 99 59 9E(y)=25X _L+30X9 =9 9 9 9E(X)x +a (x +a)由题意可得/(-1)=0,即8-2a 0,解得。=4,(a+l)2可得/(x)=上 红，X2+4f(x)=2(X+1)(X-4)(X2+4)2当 x 4 或 x V -1 时，f(无)0,f(x)递增；当-1 V x V 4 时，f(x)b 0)过点 A (0,-2）,以四个顶点围成的四边形面积为4泥.（1）求椭圆E的标准方程;（2）过点尸（0,-3）的直线/斜率为k,交椭圆E于不同的两点8,C,直线A&AC交 y=-3 于点M、N,若|P M+|P N|15,求&的取值范围.2 2【解答】解：（1
15、）因为椭圆E：岂一+=1 过点A （0,-2）,则 6=2,2,2a b又因为以四个顶点围成的四边形面积为4、后，所以/X2 aX 2b =4 而，解得泥，2 2故椭圆E的标准方程为“上=1；5 4（2）由题意，设直线/的方程为y-（-3）=k（x -0）,即丫=履-3,当攵=0 时，直线/与椭圆E 没有交点，而直线/交椭圆E 于不同的两点3,C,所以kWO,设 B(xi,yi),C(%2,”)，y=kx-3联立方程组|v2 2,可 得(4+5 必)/-30日+25=0,A y 0,解得因 1,/I、J _ 30k _ 25月 以 Xi+x9=-7，Xi x9=-5-，4+5k*4+5/2则
16、y i*=(Axi-3)(kxi-3)=lxx2-3k(xi+x2)+9=20k+364+5 k 2-94yi+y2=Ckx-3)+(kx2-3)=k(xi+x2)-6=-，4+5k2y i-(-2)yi+2直线AB的方程为y-(-2)=1-(x-0).即y 一x-2X j-0 X直线AC的方程为y-(-2)=丫2-Gy),即y=Z x-2,x2 x2因为直线AB交 y=-3 于点M,所以令y=-3,则 *二M V+2故 於-X1Yi+2-3)，同理可得N(,-3)，y2+2注意到X,Xc=，所以XI，X2同号，1 2 4+5k2因为 yi+20,”+2 0,所以 RM,XN 同号，故|PM+|PN=Iwl+kM=XM+XN,n,Xi x2,Xi(y2+2)+x2(yi+2)则|PM+|PN=4 一 1=1,了1+2 y2+2(y1+2)(y2+2)X(kx2*3)+x2(kX-3)+2(x 1 +x2)y1y2+2(y1+y2)+4=2kXX2-(Xi+x2)ly1y2+2(y1+y2)+425 30k2k-7-7i 4+5k 4+5k-20/+36 48,-2-F+44+5/4+5
