江西省抚州2022年高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

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1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数Z=上,则Z的虚部为（）Z-1A.-1 B.-i C.1 D.i2.如图，在平行四边形ABC。中，。为对角线的交点，点P为平行四边形外一点，且AP|0 8,3尸。4,则 历=()一 一 3一 一A.DA+2DC B.-D

2、A +DC3 1c .2DA+DC D.-D A +-D C3.已知集合5/=|-145”=|可 2 ,则M p|N=()A.x|-l%2 B.x|-2 x 5 C.x|-lx5 D.X|0X24.一个正三棱柱的正(主)视图如图，则该正三棱柱的侧面积是()A.16 B.12 C.85.已知集合 A=x-lxl,贝!j AU8=A.(-1,1)B.(1,2)C.(-L+oo)D.6D.(1,+oo)6.一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40。的方向直线航行，30分钟后到达笈处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70。，在8处观察灯塔，其方向是北偏东65。，那么5

3、,C两点间的距离是（）北东A.6 夜 海 里 B.6 6 海里C.8 近 海 里 D.8 6海里7 .已知直线/：丘一-3 左 +1 =0 与椭圆q：二 +二=1(。/,0)交于A、B 两 点,与圆G：(x-3)2+(y-l)2=1a b交于。、。两点.若存在使得而=丽，则椭圆G的离心率的取值范围为()A.悍用 B.卓 1)C.(0,D.停,1)8 .已知直线尸A(x+l)(A0)与抛物线C：y 2=4 x 相交于A,8 两点，尸为C 的焦点，若照|=2|f 5|,则 照|=()A.1 B.2 C.3 D.49 .设 加，是两条不同的直线，。，夕是两个不同的平面，给出下列四个命题：若加/，m

4、l p,则，；若m/1 a ,m/3,则 a /?；若nil a ,贝！若加 a,m L/3,则 a _ L 耳；其中真命题的个数 为()A.1 B.2 C.3 D.41 0 .设 4 是等差数列，且公差不为零，其前项和为S,.贝！J“V eN*,5.5“”是“4 为递增数列”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2 21 1 .设 6,工分别为双曲线-与=1(4 0,6 0)的左、右焦点，过点片作圆/+2=/的切线，与双曲线的左、a 右两支分别交于点P,Q,若|Q 6|=|P Q I，则双曲线渐近线的斜率为()A.1 B.(V 3-1)C.

5、(G+1)D.451 2 .在 AA3C中，内角A的平分线交B C边于点。，A B =4,A C =S,B D =2,则 的 面 积 是()A.160 B.V 1 5 C.3 D.8G二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分。1 3 .(1 +)展开式中的系数的和大于8 而小于3 2,则=.1 4.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，已知圆C:f+(y _ l)2=l,圆C:(x +2 6)2 +y 2=6.直线/：y =履+3 与圆C相切,且与圆C 相交于A，8两点，则弦AB 的长为x -y +2.0,1 5.已知实数苍丁满约束条件 2 x+y 5,0,则 z =-x+3 y

6、的最大值为.y.i,1 6.在直角坐标系中，某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为(1,1),(2,2),函数“X)=A s i n(5+同(A 0,0 /1，时 的图象经过该三角形的三个顶点，则/(x)的解析式为/W=-三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。In r1 7.(1 2 分)已知函数/(x)=知-吧.a(1)若.f(x)在 1,2 上是减函数，求实数”的最大值：(2)若0。1,求证：吧.a1 8.(1 2 分)已知三点P,Q,A在抛物线：丫 2=”上.(I)当点A的坐标为(2,1)时，若直线P。过点T(-2,4),求此时直线AP与直线AQ的斜率之积；(

7、II)当 APLAQ,且 I APRAQI 时，求AAPQ面积的最小值.1 9.(1 2 分)已知双曲线C:x 2-V=i 及直线/：),=依+1.(1)若/与 C有两个不同的交点，求实数衣的取值范围；(2)若/与 C交于A,B 两点，。是原点，且,.=0,求实数A的值.2 0.(1 2 分)秉 持“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，为推动新能源汽车产业迅速发展，有必要调查研究新能源汽车市场的生产与销售.下图是我国某地区2 0 1 6 年至2 0 1 9 年新能源汽车的 销 量(单位：万台)按季度(一年四个季度）统计制成的频率分布直方图.（1）求直方图中“的值，并估计销量的中位数；（2

8、）请根据频率分布直方图估计新能源汽车平均每个季度的销售量（同一组数据用该组中间值代表），并以此预计2 0 2 0 年的销售量.2 1.（1 2 分）定义:若数列 ,满 足 所 有 的 项 均 由 构 成 且 其 中-1 有，个，1 有 P个（加+之3）,则称 叫 为“（机 ）-数列”.（1）4吗，4（/人）为“（3,4）-数列”4 中的任意三项，则使得。外=1 的取法有多少种？（2）%,4 为“（机p）-数列”（中的任意三项，则存在多少正整数（m,p）对使得1 V m V10 0,且的概率为;.22.（10 分）已知函数/（x）=（x+D（e -l）.（I ）求/W在点（1 J（一 1）处的切

9、线方程；（I I）已知/（x）2 6在 R上恒成立，求。的值.eh（H D若 方 程 有 两 个 实 数 根 与 了 2,且王/，证明：/一+1+e-1参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】分子分母同乘分母的共物复数即可.【详 解】2i 2i(i+l)_-2+2iiT-(i-l)(i+l)-2故z的 虚 部 为-1.故选：A.【点 睛】本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.2.D【解 析】连 接0 P,根据题目，证 明 出 四 边 形APOO为平行四边形，然 后，利用向量的线性运算即可

10、求出答案【详 解】连 接0 P,由AP|O6,BP H OA知,四 边 形AP8O为平行四边形，可 得 四 边 形”0。为平行四边形，所以_ 1 1 3 1DP=DA+DODA+-D A +-D C =-D A +-D C.2 2 2 2【点睛】本题考查向量的线性运算问题，属于基础题3.A【解 析】考 虑 既 属 于M又 属 于N的集合，即得.【详 解】.-N=x|-2x2,.-.MnAT=x|-lx2.故选：A【点 睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.4.B【解 析】根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.【详解】由题可知：该几何

11、体的底面正三角形的边长为2所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2 的正方形，所以该正三棱柱的侧面积为3 x 2 x 2 =12故选：B【点睛】本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题.5.C【解析】根据并集的求法直接求出结果.【详解】A=x|-l x l,A U B=（-1 收），故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.6.A【解析】先根据给的条件求出三角形ABC的三个内角，再结合A 8 可求，应用正弦定理即可求解.【详解】由题意可知：/3 4。=70。-40。=30。./4。=110。，

12、.ZACB=110-65=45,/.ZA B C=180-30-45=105.又 AB=24xO.5=12.D在A ABC中，由正弦定理得ABsm45BCsin3012 BC即 近 一 J,，BC=6万2 2故选：A.【点睛】本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中档题.7.A【解析】由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到A,8坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率左与A,5坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围.【详解】设4（石,凶）,3（马，），且线/：丘一y-34+1=0过定点（3,1）即为G的圆心，_ x+/+x力=

13、2x3=6因为AC=0 6,所以 凹+%=汽+%=2、1 =2又 因 为 杼,+?柒 所 以 加（才-以=-储 国-到所 以 上 及=一耳.小 邃，所以=_弊-2,-1,石一工2 a-y1+y2 a J所以1 e ,所以 二-e H,所以（l e2）e 1,a|_3 3 a _3 3|_3 3J所以“字乎故选：A.【点睛】本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算.8.C【解析】方法一：设尸（-1,0）,利用抛物线的定义判断出8是AP的中点，结合等腰三角形的性质求得B点的横坐标，根据抛物线的定义求得I 进而

14、求得|E 4|.方法二：设 出 两 点 的 横 坐 标5,与，由抛物线的定义，结 合|所|=2|尸5|求 得 的 关 系 式，联立直线 =攵（+1）的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得苫八，进而求得|F A|.【详解】方法一：由题意得抛物线y2=4.r的准线方程为/:x=1,直线y=后。+1）恒过定点尸（-1,0）,过A,3分别作A M I于M，BN于N ,连接由|E 4|=2|必贝！|AM|=2|8 N ,所以点B为AP的中点，又点。是P尸的中点，则J|OB|=|A用，所以|。8|=|6或，X I O F|=12所以由等腰三角形三线合一得点B的横坐标为!，2由题意设A6两点横坐标分别为

15、4,/（乙,4 0）,则由抛物线定义得I F A|=xA+l,FB=XB+1又|E 4|=2|F B|,+1=2(XB XA=2XB+1 =k2x2+(2k,2-4)x+k2=0=-xfi=1 y=Z(x+1)由得x；-x.-2=0,r.x.=2,|FA|=%+1=3.故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.9.C【解析】利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决.【详解】如果两条平行线中一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于这个平面知正确；当直线加平行于平面a与平面夕的交线时也有相2,，夕，故错误；若相，。，则加垂直平面a内以及与平面a平行的所有直

16、线，故正确；若mH a,则存在直线/u a且m/，因为U 0,所以/_ L ,从 而 故 正 确.故选：C.【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理，是一道基础题.10.A【解析】根据等差数列的前项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】凡 是等差数列，且公差不为零，其前项和为S,充分性：5+|S,则0对任意的eN*恒成立，则20,.。0,若d 0,则数列也,为单调递减数列，则必存在k eN*,使 得 当 *时，4M 0,则5用 0,由 出0且数列 4 为单调递增数列，则对任意的eN*，+1 0,合乎题意.所以，V eN*,5用 5=4 为递增数列”;必要性：设 勺=-1 0,当W8时，an+l=n-9 0,此时，Sll+l S ”位 q为递增数列”.因此，“V e N*，S“+i S”是%为递增数列的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前项和公式是解决本题的关键，属于中等题.11.C【解析】如图所示：切点为连接作轴于N,计 算 归 制=2”，俨 用=4即 俨 时=肛，|