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1、第第3 3课时课时导数的应用及定积分的简单应用导数的应用及定积分的简单应用知识网络要点梳理答案:用导数求函数的单调区间函数的极值函数的最值速度、加速度降雨强度边际成本1.知识网络要点梳理答案:面积问题定义性质微积分基本定理平面图形的面积知识网络要点梳理1.利用导数研究函数的单调性的步骤.(1)找出函数f(x)的定义域;(2)求f(x);(3)在定义域内解不等式f(x)0,f(x)0.2.求可导函数f(x)极值的步骤.(1)求函数的导数f(x);(2)令f(x)=0,求出全部的根x0;(3)列表,方程的根x0将整个定义域分成若干个区间,把x,f(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在同一表格内
2、;(4)判断得结论,若导数在x0附近左正右负,则在x0处取得极大值;若导数在x0附近左负右正,则在x0处取得极小值.知识网络要点梳理3.求函数f(x)在a,b上最值的步骤.求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.4.求定积分的三种方法.(1)利用定义求定积分(定义法),可操作性不强.(2)利用微积分基本定理求定积分.知识网络要点梳理5.利用定积分求平面图形的面积.在直角坐标系中,由曲线f(x),直线x=a,x=b(ab)和x轴围成的曲边梯形的面积的
3、求法分为以下几种情况:知识网络要点梳理(3)如果在区间a,b上,f(x)有正有负,即曲线在x轴上方和下方都有图像,如函数f(x)的图像在区间(a,c)上位于x轴上方,在区间(c,b)上位(4)由曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)g(x)与直线x=a,x=b(ab)围成的图形(如图)的面积为知识网络要点梳理思考辨析判断以下说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)因为函数f(x)=x3的导数f(x)=3x20,所以函数f(x)=x3在R上是增加的.()(2)在开区间(a,b)内连续的函数f(x)若只有某一点处存在极大值(或极小值),则函数f(x)在该点处取得最大值(或最
4、小值).()(3)导函数的值为0的点必定是函数的极值点.()(4)在某区间内函数的极大值和极小值一定是唯一的.()专题归纳高考体验专题一函数的单调性与导数【例1】已知aR,求函数f(x)=x2eax的单调区间.(注y=eax(a为常数)的导数y=aeax)解:因为函数f(x)的导数为f(x)=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax.(1)当a=0时,若x0,则f(x)0,则f(x)0.所以,当a=0时,函数f(x)在区间(-,0)上是减少的,在区间(0,+)上是增加的.专题归纳高考体验反思感悟求单调区间(或证明单调性),只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x
5、)0.若含有参数,需对参数进行分类讨论.专题归纳高考体验变式训练变式训练1已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2),其中a0,函数f(x)在(0,+)上是增加的,函数f(x)无极值.当a0时,由f(x)=0解得x=a.x(0,a)时,f(x)0,f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.综上所述,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.反思感悟求函数的极值应先确定函数的定义域,再解方程f(x)=0,再判断f(x)=0的根是不是极值点,可通过列表的形式进行分析,若遇极值点含参数不能比较大小时,则需分类讨
6、论.专题归纳高考体验(1)如果g(x)=f(x)-2x-3在x=-2处取得最小值-5,求f(x)的解析式;(2)如果m+n0,即m2n.故m2时才可能有符合条件的m,n.当m=2时,只有n=3符合要求;当m=3时,只有n=5符合要求;当m4时,没有符合要求的n.综上所述,只有m=2,n=3或m=3,n=5满足上述要求.专题归纳高考体验专题三导数与不等式【例3】已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图像与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明:当x0时,x2ex;(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x(x0,+)时
7、,恒有x2cex.专题归纳高考体验(1)解:由f(x)=ex-ax,得f(x)=ex-a.又f(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=ex-2x,f(x)=ex-2.令f(x)=0,得x=ln 2.当xln 2时,f(x)ln 2时,f(x)0,f(x)是增加的.所以当x=ln 2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-ln 4,f(x)无极大值.(2)证明:令g(x)=ex-x2,则g(x)=ex-2x,由(1)得g(x)=f(x)f(ln 2)0,故g(x)在R上是增加的.又g(0)=10,因此,当x0时,g(x)g(0)0,即x20时,x20时
8、,x2cex.取x0=0,当x(x0,+)时,恒有x2kx2成立.而要使exkx2成立,则只要xln(kx2),只要x2ln x+ln k成立.所以当x2时,h(x)0,h(x)在(2,+)内是增加的.取x0=16k16,所以h(x)在(x0,+)内是增加的,又h(x0)=16k-2ln(16k)-ln k=8(k-ln 2)+3(k-ln k)+5k,易知kln k,kln 2,5k0,所以h(x0)0.专题归纳高考体验综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x(x0,+)时,恒有x2cex.因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x(x0,+)时,恒有x20时,x2ex,从而h(x)0,h
9、(x)在(0,+)内是减少的,因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x(x0,+)时,恒有x2cex.专题归纳高考体验反思感悟1.不等式的证明问题可以从所证不等式的结构和特点出发,结合已有的知识利用转化与化归思想,构造一个新的函数,再借助导数确定函数的单调性,利用单调性实现问题的转化,从而使不等式得到证明,其一般步骤是:构造可导函数研究单调性或最值得出不等关系整理得出结论.2.不等式恒成立问题若f(x)a或g(x)a恒成立,只需满足f(x)mina或g(x)maxa即可,利用导数方法求出f(x)的最小值或g(x)的最大值,从而问题得解.专题归纳高考体验变式训练变式训练3已知函数f(x)=(x
10、+1)ln x-x+1.(1)若xf(x)x2+ax+1,求a的取值范围;(2)证明:(x-1)f(x)0.xf(x)=xln x+1,故xf(x)x2+ax+1等价于ln x-xa.令g(x)=0,解得x=1.f(x)的定义域为(0,+),当0 x0;当x1时,g(x)0.故x=1是g(x)的极大值点,且是最大值点,则g(x)g(1)=-1.综上,a的取值范围是-1,+).专题归纳高考体验(2)证明:由(1)知,g(x)g(1)=-1,即ln x-x+10.当0 x1时,f(x)=(x+1)ln x-x+1=xln x+(ln x-x+1)0;(x-1)f(x)0.专题归纳高考体验专题四利用
11、求导解应用题【例4】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层,某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0 x10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.分析:本小题主要考查函数、导数等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.可根据题意得出f(x)的解析式,再利用导数解决.专题归纳高考
12、体验解:(1)设隔热层厚度为x cm,由题设,每年能源消耗费用为 专题归纳高考体验反思感悟利用导数解决生活中优化问题的一般步骤.(1)分析实际问题中各量之间的关系,找出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x),根据实际意义确定定义域;(2)求函数y=f(x)的导数f(x),解方程f(x)=0得出定义域内的实根,确定极值点;(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小,获得所求的最大(小)值;(4)还原到原实际问题中作答.专题归纳高考体验变式训练变式训练4某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(
13、x-6)2,其中3x6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.专题归纳高考体验=2+10(x-3)(x-6)2,3x6.f(x)=10(x-6)2+2(x-3)(x-6)=30(x-4)(x-6),令f(x)=0,得x=4.当3x0,函数f(x)在(3,4)上是增加的;当4x6时,f(x)0,求a的取值范围.解:(1)f(x)的定义域为(0,+).当a=4时,f(x)=(x+1)ln x-4(x-1),f(x)=ln x+-3,f(1)=-2,f(1)=0.曲
14、线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为2x+y-2=0.(2)当x(1,+)时,专题归纳高考体验()当a2,x(1,+)时,x2+2(1-a)x+1x2-2x+10,故g(x)0,g(x)在(1,+)单调递增,因此g(x)0;()当a2时,令g(x)=0得由x21和x1x2=1得x11,故当x(1,x2)时,g(x)0,g(x)在(1,x2)单调递减,因此g(x)0,f(x)单调递增,x(1,+)时,f(x)0,x(x0,2)时,(x)0知,f(x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1.所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+
15、)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值,从而g(x)0,x(-,+).综上可知,f(x)0,x(-,+).故f(x)的单调递增区间为(-,+).专题归纳高考体验考点二:利用导数研究函数的极值与最值5.(2017全国高考)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为()A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1专题归纳高考体验解析:由题意可得,f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1.因为x=-2是函数f(x)的极值点,所以f(-2)=0.所以a=-1.所以f(x)=(x2-x-1
16、)ex-1.所以f(x)=(x2+x-2)ex-1.令f(x)=0,解得x1=-2,x2=1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:所以当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故选A.答案:A专题归纳高考体验6.(2016全国乙高考)函数y=2x2-e|x|在-2,2的图像大致为()专题归纳高考体验解析:特殊值验证法,取x=2,则y=24-e28-2.71820.6(0,1),排除A,B;当0 x2时,y=2x2-ex,则y=4x-ex,由函数零点的判定可知,y=4x-ex在(0,2)内存在零点,即函数y=2x2-ex在(0,2)内有极值点,排除C,故选D.答案:D专题归纳高考体验(1)若a=0,则f(x)的最大值为;(2)若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是.解析:令g(x)=x3-3x,(x)=-2x.由g(x)=3x2-3=0,得x=1.可判断当x=1时,函数g(x)的极小值为-2;当x=-1时,函数g(x)的极大值为2,且g(x)与x轴的交点为(-,0),(0,0),(,0).又g(x)与(x)图像的交点为A(-1,2),
