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1、4.4 4.4 解直角三角形的应用解直角三角形的应用第第4 4章章 锐角三角函数锐角三角函数逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升课时讲解1课时流程2u解直角三角形在实际中的应用解直角三角形在实际中的应用u解直角三角形在解仰角和俯角问题解直角三角形在解仰角和俯角问题中的应用中的应用u解直角三角形在解坡角、坡度问题解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用中的应用u解直角三角形在解方向角问题中的解直角三角形在解方向角问题中的应用应用知知识点点解直角三角形在实际中的应用解直角三角形在实际中的应用知知1 1讲讲11.利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤：利用解直角三角形解决实际问题的一般
2、步骤：(1)画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解直角三角形的问题；解直角三角形的问题；(2)根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数等知识根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数等知识解直角三角形；解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案得到实际问题的答案.知知1 1讲讲2.解决实际问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下解决实际问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下表所示：表所示：图形图形关系式关系式图形图形关系式关系式ACBCtan，AGACBEBCDCBDAD(tan tan)知知1
3、1讲讲续表续表图形图形关系式关系式图形图形关系式关系式ABDEAEtan，CDCEDEAE(tantan)知知1 1讲讲续表续表图形图形关系式关系式图形图形关系式关系式知知1 1讲讲特别提醒特别提醒1.当当实实际际问问题题中中涉涉及及的的图图形形可可以以直直接接转转化化为为直直角角三三角角形形时时，可可利用解直角三角形的知识直接求解利用解直角三角形的知识直接求解.2.在在解解直直角角三三角角形形时时，若若相相关关的的角角不不是是直直角角三三角角形形的的内内角角，应应利利用用平平行行线线的的性性质质或或互互余余、互互补补的的角角的的性性质质将将其其转转化化为为直直角角三角形的内角，再利用解直角三
4、角形的知识求解三角形的内角，再利用解直角三角形的知识求解.3.问问题题中中有有两两个个或或两两个个以以上上的的直直角角三三角角形形，当当其其中中一一个个直直角角三三角角形形不不能能求求解解时时，可可考考虑虑分分别别由由两两个个直直角角三三角角形形找找出出含含有有相相同未知元素的关系式，运用方程求解同未知元素的关系式，运用方程求解.知知1 1练练例1如图如图4.4-1 所示，某居民楼所示，某居民楼高高20 m，窗户朝南，该，窗户朝南，该楼内一楼住户的窗台离地面距离楼内一楼住户的窗台离地面距离CM为为2 m，窗户，窗户CD高高1.8 m.现计划在居民楼现计划在居民楼的正南方的正南方30 m处新建一
5、居处新建一居民楼民楼.当正午时刻太阳光线与地面成当正午时刻太阳光线与地面成30角时，要角时，要使居民楼使居民楼的影子不影响居民楼的影子不影响居民楼所有所有住户的采光，新建居民楼住户的采光，新建居民楼最高只最高只能建多少米？能建多少米？知知1 1练练解题秘方：解题秘方：将实际应用问题建模成解直角三角形问题将实际应用问题建模成解直角三角形问题.解解：设设正正午午时时，太太阳阳光光线线正正好好照照在在居居民民楼楼一一楼楼住住户户的的窗窗台处，此时新建居民楼台处，此时新建居民楼高高x m，如图，如图4.4-1 所示，所示，过点过点C作作CFl于于F，知知1 1练练知知1 1练练解法提醒解法提醒解解本本
6、题题的的关关键键是是将将实实际际中中的的相相关关数数据据，通通过过建建立立数数学学模模型型，归归结结到到直直角角三三角角形形中中，再再用用三三角角函函数数(正正切切)求求解解.注注：本本题题也也可可以以利利用用含含30角角的的直直角角三三角角形形的的三三边边关关系，建立方程求解系，建立方程求解.知知1 1练练例2知知1 1练练解题秘方：解题秘方：在建立的非直角三角形模型中，用在建立的非直角三角形模型中，用“化斜为直法化斜为直法”解含公共直角边的解含公共直角边的直角三角形直角三角形.知知1 1练练知知1 1练练计计算算结结果果必必须须根根据据题目要求进行保留题目要求进行保留.知知1 1练练教你一
7、招教你一招解直角三角形的实际应用问题的求解方法：解直角三角形的实际应用问题的求解方法：1.根根据据题题目目中中的的已已知知条条件件，将将实实际际问问题题抽抽象象为为解解直直角角三三角角形形的的数数学学问问题题，画画出出平平面面几几何何图图形形，弄弄清清已已知知条条件件中中各各量量之之间间的的关系；关系；2.若若条条件件中中有有直直角角三三角角形形，则则直直接接选选择择合合适适的的三三角角函函数数关关系系求求解解即即可可；若若条条件件中中没没有有直直角角三三角角形形，一一般般需需添添加加辅辅助助线线构构造造直角三角形，再选用合适的三角函数关系求解直角三角形，再选用合适的三角函数关系求解.知知2
8、2讲讲知知识点点解直角三角形在解仰角和俯角问题中的应用解直角三角形在解仰角和俯角问题中的应用21.仰角和俯角的定义：仰角和俯角的定义：在视线与水平线所成的角中，在视线与水平线所成的角中，视线在水平视线在水平线上方的角线上方的角叫作仰角，叫作仰角，视线在水平线下方的角视线在水平线下方的角叫作俯角叫作俯角.知知2 2讲讲特别提醒特别提醒仰仰角角和和俯俯角角是是视视线线相相对对于于水水平平线线而而言言的的，不不同同位位置置的仰角和俯角是不同的，可巧记为的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯上仰下俯”.实实际际问问题题中中遇遇到到仰仰角角或或俯俯角角时时，要要放放在在直直角角三三角角形形中或转化到直
9、角三角形中，注意确定水平线中或转化到直角三角形中，注意确定水平线.知知2 2讲讲解直角三角形在解仰角和俯角问题中的应用解直角三角形在解仰角和俯角问题中的应用2.示图示图(如图如图4.4-3)：知知2 2练练中考中考河池河池 如图如图4.4-4，小敏在数学实践活动中，利，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼用所学知识对他所在小区居民楼AB的高度进行测量，的高度进行测量，从小敏家阳台从小敏家阳台C测得点测得点A的仰角为的仰角为33，测得点，测得点B的俯的俯角为角为45，已知观测点到地面的高度，已知观测点到地面的高度CD36 m，求居民楼，求居民楼AB的高度的高度(结果保留整数，结果
10、保留整数，参考数据：参考数据：sin 33 0.55，cos 330.84，tan 33 0.65)例3知知2 2练练解：如图解：如图4.4-4，过点过点C作作CEAB于点于点E，则则AECBEC90，由题意可知由题意可知CDB DBE90，四边形四边形BECD 是矩形，是矩形，BECD36 m，解题秘方：解题秘方：将实际问题将实际问题转化为转化为解直角三角形问题求解解直角三角形问题求解.知知2 2练练在在RtBCE中，中，BCE45，EBC90BCE45，EBCBCE，BECECD36 m.在在RtACE中，中，ACE33，AECEtan 33 23.4 m，ABAEBE 23.43659.
11、4 59(m)答：居民楼答：居民楼AB的高度约为的高度约为59 m知知2 2练练方法点拨方法点拨求求解解有有关关仰仰角角与与俯俯角角的的问问题题，关关键键是是根根据据仰仰角角、俯俯角角的的定定义义画画出出水水平平线线，找找准准视视角角，建建立立数数学学模模型型后后构构造造直直角角三三角角形形，并并结结合合图图形形利利用用锐锐角角三三角角函函数数解解直直角三角形角三角形.知知3 3讲讲知知识点点解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用31.坡角与坡度坡角与坡度(坡比坡比)的定义：的定义：(1)坡角：坡面与水平面的夹角，如图坡角：坡面与水平面的夹角，如图4.4-
12、5 中的中的.知知3 3讲讲解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用知知3 3讲讲解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用知知3 3讲讲特别提醒特别提醒1.坡度是两条线段长的比值，不是度数坡度是两条线段长的比值，不是度数.2.表示坡度时，通常把比的前项取作表示坡度时，通常把比的前项取作1，后项可以是小数，后项可以是小数.3.物物体体的的倾倾斜斜程程度度通通常常可可用用物物体体的的坡坡度度表表示示，坡坡度度越越大大，坡坡角角越越大大，坡坡面面越越陡陡；反反之之，坡坡度度越越小小，坡坡角角越越小小，坡面越缓坡面越缓.知知3 3
13、练练例4知知3 3练练(1)山坡坡角的度数等于山坡坡角的度数等于_度；度；解题秘方：解题秘方：将分散的条件集中到将分散的条件集中到ABP 中求解中求解.30知知3 3练练解题秘方：解题秘方：将分散的条件集中到将分散的条件集中到ABP 中求解中求解.知知3 3练练知知3 3练练特别警示特别警示坡坡角角是是指指坡坡面面与与水水平平面面的的夹夹角角，而而不不是是坡坡面面与与铅铅垂线的夹角；垂线的夹角；不能把坡度比例式的分子和分母的位置颠倒不能把坡度比例式的分子和分母的位置颠倒.知知4 4讲讲知知识点点解直角三角形在解方向角问题中的应用解直角三角形在解方向角问题中的应用41.方向角的定义：指北或指南的
14、方向线与目标方向线所成方向角的定义：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于的小于90的角叫作方向角的角叫作方向角.特别警示：方向角和方位角不同，方位角是指从特别警示：方向角和方位角不同，方位角是指从某点的指北方向线起，按顺时针方向到目标方向线之间某点的指北方向线起，按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，变化范围为的水平夹角，变化范围为0360，而方向角的变化范，而方向角的变化范围是围是090知知4 4讲讲2.示图：示图：如图如图4.4-7 所示，目标方向线所示，目标方向线OA，OB，OC的方向角分别可以表示为北偏东的方向角分别可以表示为北偏东30、南偏、南偏东东45、北偏西、北偏西30，其
15、中南偏东，其中南偏东45习惯上又习惯上又叫作东南方向，北偏东叫作东南方向，北偏东45习惯上又叫作东北习惯上又叫作东北方向，北偏西方向，北偏西45习惯上又叫作西北方向，南习惯上又叫作西北方向，南偏西偏西45习惯上又叫作西南方向习惯上又叫作西南方向.知知4 4讲讲特别提醒特别提醒1.因因为为方方向向角角是是指指北北或或指指南南方方向向线线与与目目标标方方向向线线所所成成的的小小于于90的的角角，所所以以方方向向角角通通常常都都写写成成“北北偏偏”“南南偏偏”的的形形式式.2.解解决决实实际际问问题题时时，可可利利用用正正南南、正正北北、正正西西、正正东东方方向向线线构构造直角三角形来求解造直角三角
16、形来求解.3.观观测测点点不不同同，所所得得的的方方向向角角也也不不同同，但但各各个个观观测测点点的的南南北北方方向线是分别互相平行的，通常借助于此性质进行角度转换向线是分别互相平行的，通常借助于此性质进行角度转换.知知4 4练练例5知知4 4练练解题秘方：解题秘方：建立数学模型后，用建立数学模型后，用“化斜为直法化斜为直法”，将斜三角形问题转化为直角三角，将斜三角形问题转化为直角三角形问题求解形问题求解.知知4 4练练(1)分别求出分别求出A与与C及及B与与C的距离的距离AC，BC；(结果保留根号结果保留根号)知知4 4练练图解图解通通过过CE将将原原三三角角形形分分成成两两个个直直角角三三角角形形，如如图图4.4-9 所示所示.知知4 4练练知知4 4练练解法提醒解法提醒求解是否触礁或是否受台风或噪声影响等问题的方法：求解是否触礁或是否受台风或噪声影响等问题的方法：一一般般都都是是求求出出暗暗礁礁中中心心到到航航线线的的距距离离，或或城城市市中中心心(目目标标中中心心)到到台台风风移移动动路路径径的的距距离离，或或学学校校到到噪噪声声源源移移动动路路径径的的距距离离，将将这这些些距
