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1、本章整合专题一专题二专题三专题一函数的单调性研究图像连续的可导函数的单调性的一般方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求f(x),令f(x)=0,解此方程;(3)先把上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,再用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间;(4)确定f(x)在各个小开区间内的符号,根据f(x)的符号判断f(x)在每个相应区间内的增减性.也可先求函数的定义域,再由f(x)0或f(x)0,求出递增区间或递减区间.如果f(x)在定义区间内恒有f(x)=0,那么f(x)为常数函数.专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题二函数的极值函数极值的判别方法
2、:(1)定义法.若f(x)在x0点附近有定义,且对附近所有点x都有f(x)f(x0),则说f(x0)为极小值.(2)导数法.当函数f(x)在x0处连续可导时,如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧f(x)0,那么f(x0)是极小值.专题一专题二专题三专题一专题二专题三由f(x)=0,得x=1或x=a.若0a0,函数f(x)是增加的;当x(a,1)时,f(x)0,函数f(x)是增加的.此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点.专题一专题二专题三若a1,则当x(0,1)时,f(x)0,函数f(x)是增加的;当x(1,a)时,f
3、(x)0,函数f(x)是增加的.此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点.综上所述,当0a1时,x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点.专题一专题二专题三专题三函数的最大、最小值函数的最值与极值的区别与联系:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值.(4)在解决实际应用
4、问题时,如果函数在区间内只有一个极值点,那么要根据实际意义判断是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.专题一专题二专题三应用1已知矩形的两个顶点位于x轴上,另外两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上,求这个矩形面积最大时的边长.提示:如图,设出|AD|,进而求出|AB|,表示出面积S,然后利用导数求最值.专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三1 2 3 4 5 6 7 8 91(2015湖南高考改编)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增加的B.奇函数,且在(0
5、,1)上是减少的C.偶函数,且在(0,1)上是增加的D.偶函数,且在(0,1)上是减少的101 2 3 4 5 6 7 8 92(2015陕西高考)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是()A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上101 2 3 4 5 6 7 8 9101 2 3 4 5 6 7 8 93(2015课标全国高考)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(-1)=0,当x0时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是
6、()A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-,-1)(-1,0)D.(0,1)(1,+)101 2 3 4 5 6 7 8 9f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.在区间(0,1)上,F(x)0;在(1,+)上,F(x)0,即当0 x0;当x1时,f(x)0;当x(-1,0)时,f(x)0的解集为(-,-1)(0,1).故选A.答案:A101 2 3 4 5 6 7 8 94.(2016全国高考乙卷)函数y=2x2-e|x|在-2,2的图像大致为()解析:特殊值验证法,取x=2,则y=24-e28-2.71820.6(0,1),排除A,B;当
7、0 x2时,y=2x2-ex,则y=4x-ex,由函数零点的判定可知,y=4x-ex在(0,2)内存在零点,即函数y=2x2-ex在(0,2)内有极值点,排除C,故选D.答案:D101 2 3 4 5 6 7 8 9101 2 3 4 5 6 7 8 9101 2 3 4 5 6 7 8 9(1)若a=0,则f(x)的最大值为;(2)若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是.101 2 3 4 5 6 7 8 9解析:令g(x)=x3-3x,(x)=-2x.由g(x)=3x2-3=0,得x=1.可判断当x=1时,函数g(x)的极小值为-2;当x=-1时,函数g(x)的极大值为2,且g(x)与x
8、轴的交点为(-,0),(0,0),(,0).又g(x)与(x)图像的交点为A(-1,2),O(0,0),B(1,-2),故可作出函数g(x)与(x)的大致图像如图所示.(1)当a=0时,可知f(x)的最大值是f(-1)=2;(2)由图像知,当a-1时,f(x)有最大值f(-1)=2;当a-1时,f(x)无最大值,故a的取值范围是(-,-1).答案:(1)2(2)(-,-1)101 2 3 4 5 6 7 8 97(2015课标全国高考改编)设函数f(x)=emx+x2-mx.(1)证明:f(x)在(-,0)递减,在(0,+)递增;(2)若对于任意x1,x2-1,1,都有|f(x1)-f(x2)
9、|e-1,求m的取值范围.(1)证明:f(x)=m(emx-1)+2x.若m0,则当x(-,0)时,emx-10,f(x)0.若m0,f(x)0;当x(0,+)时,emx-10.所以,f(x)在(-,0)递减,在(0,+)递增.101 2 3 4 5 6 7 8 9101 2 3 4 5 6 7 8 9又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e1时,由g(t)的单调性,g(m)0,即em-me-1;当m0,即e-m+me-1.综上,m的取值范围是-1,1.101 2 3 4 5 6 7 8 98.(2016四川高考)设函数f(x)=ax2-a-ln x,其中aR.(1)讨论f(x)的单调性;(
10、2)确定a的所有可能取值,使得f(x)-e1-x在区间(1,+)内恒成立(e=2.718为自然对数的底数).101 2 3 4 5 6 7 8 9则s(x)=ex-1-1.而当x1时,s(x)0,所以s(x)在区间(1,+)内是增加的.又由s(1)=0,有s(x)0,从而当x1时,g(x)0.当a0,x1时,f(x)=a(x2-1)-ln xg(x)在区间(1,+)内恒成立时,必有a0.101 2 3 4 5 6 7 8 9101 2 3 4 5 6 7 8 9解(1)f(x)的定义域为(-,-2)(-2,+).当且仅当x=0时,f(x)=0,所以f(x)在(-,-2),(-2,+)是增加的.
11、因此当x(0,+)时,f(x)f(0)=-1.所以(x-2)ex-(x+2),(x-2)ex+x+20.101 2 3 4 5 6 7 8 9101 2 3 4 5 6 7 8 9101 2 3 4 5 6 7 8 91010.(2016全国高考乙卷)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x20,则当x(-,1)时,f(x)0,所以f(x)在(-,1)是减少的,在(1,+)是增加的.故f(x)存在两个零点.1 2 3 4 5 6 7 8 910()若a0,因此f(x)在(1,+)是增加的.又当x1时,f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.若a1,故当x(1,ln(-2a)时,f(x)0.因此f(x)在(1,ln(-2a)是减少的,在(ln(-2a),+)是增加的.又当x1时f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+).1 2 3 4 5 6 7 8 910(2)证明不妨设x1x2,由(1)知,x1(-,1),x2(1,+),2-x2(-,1),f(x)在(-,1)是减少的,所以x1+x2f(2-x2),即f(2-x2)1时,g(x)1时,g(x)0.从而g(x2)=f(2-x2)0,故x1+x22.
