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1、第2.6章 函数的应用2.6.1 函数的零点与方程的解 高中要求1掌握函数零点的概念；2 掌握函数零点与方程解的关系；3 掌握函数零点存在定理.1函数的零点(1)函数零点的概念对于函数，使的实数叫做函数的零点.注 零点是个数，不是个点.【例】函数的零点是 .解 方程的解是函数的零点是.(2) 方程根与函数零点的关系方程有实数根函数有零点函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为.如 方程的实数根是，函数与轴的交点横坐标是，函数的零点是，而不是. 拓展 方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为.【例】 研究方程的解. 解 方程的实数根函数与函数的交点横坐标，如图较容易得到，方程实数根有个.(3)求
2、函数零点方法 (代数法) 求方程的实数根. (几何法) 利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置.2函数零点存在定理如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.【例】研究函数在上的零点个数.解 是连续函数，且，由函数零点存在定理可得，在上至少存在一个零点，而函数 在又是增函数，故函数在上只有一个零点.【题型1】 求(或判断)函数的零点【典题1】下列函数中只有一个零点的是() 解析 方法1 解方程对于，方程无解，即函数无零点；对于，方程，解得或，即函数有个零点；对于，方程，解得，即函数只有个零点；对于，方程，解得， 即函数有
3、个零点.故选.方法2 图象法画出个函数的图象如下 故选. 变式练习1.下列函数既是偶函数又有零点的是()答案 解析 由偶函数定义再定义内满足，是偶函数的是；且没有零点；有零点，故选：2.下列函数中，在内有零点且单调递增的是()答案 解析 根据题意，依次分析选项：对于，x，其定义域为，在上没有定义，不符合题意；对于，在上有零点，且在为增函数，符合题意；对于，为二次函数，在上为减函数，不符合题意；对于，在上为减函数，不符合题意；故选： 3.函数在定义域内零点的个数是 答案 解析 在同一坐标系中画出函数与的图象，可以看到个函数的图象在第二象限有个交点，在第一象限有个交点，所以函数在定义域内有个零点【
4、题型2】函数零点存在定理的应用 【典题1】 若函数的零点在区间上，则的值为() 或 或解析 ，函数的零点在之间，函数的零点在区间上，又与在有交点，的值为或故选 【典题2】 设函数满足，若存在零点，则下列选项中一定错误的是()解析 函数函数的定义域为，函数是增函数，满足，说明有个是负数两个正数(且负数一定是)或个负数，由函数的零点判断定理可知，函数的零点在，在，在，不可能在故选变式练习1.若函数的图象是连续的，且函数的唯一零点同时在区间，内，则与符号相同的是()答案 解析 因为函数有唯一零点，且根据题意可知函数的零点在上，又因为零点左侧的函数值同号，零点右侧的函数值同号，所以与符号相同的只能是，
5、故选：2.方程的解所在的区间为()答案 解析 令，由于，根据函数零点的判定定理可得的零点所在的区间为，故方程的解所在的区间为，故选：3.已知函数的零点在区间上，则的取值范围为 答案 解析 因为函数的零点在区间上是单调递增，函数的零点在区间上，可得所以，解得4.已知关于的方程的两个实数根满足，则实数的取值范围是 . 答案 解析 方程的两个实数根可看作函数的零点，方程的根满足，即函数的零点满足，根据零点判定定理得，即，化简得，解得，实数的取值范围是5.表示不超过的最大整数，例如，已知是方程的根，则 答案 解析 是方程的根，设，显然单调递增，故只有一个根，故，所以，6.已知函数，(1)若a，求函数的
6、零点；(2)若函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围答案 (1) 0或3 (2) 0，解析 (1)a，f(x)=ax2+x1+3a=0可得x2+x=0，所以x=0或3，即函数f(x)的零点是0或3；(2)当a=0时，f(x)=x1，令f(x)=0，得x=1，是区间1，1上的零点当a0时，函数f(x)在区间1，1上有零点分为两种情况：方程f(x)=0在区间1，1上有重根，令=14a(1+3a)=0，解得a或a当a时，令f(x)=0，得x=3，不是区间1，1上的零点当a时，令f(x)=0，得x=1，是区间1，1上的零点若函数y=f(x)在区间1，1上只有一个零点，但不是f(x)=0的重根，令f(1
7、)f(1)=4a(4a2)0，解得0a综上可知，实数a的取值范围为0，1.函数的零点个数是()答案 解析 要使函数有意义，则，即，或由得或(不成立舍去)即或，函数的零点个数为个故选：2.下列函数中，是偶函数且不存在零点的是()答案 解析 对于，的对称轴为轴，故是偶函数，令得，所以的零点为不符合题意对于，的定义域为，不关于原点对称，故不是偶函数，不符合题意对于，的定义域为，不关于原点对称，故不是偶函数，不符合题意对于，故是偶函数，令，方程无解即无零点故选：3.函数的零点所在的区间为()答案 解析 ，的所在区间为故选： 4.函数的零点的情况是()仅有一个或个零点有两个正零点有一正零点和一负零点有两
8、个负零点答案 解析 函数的零点的情况等价于方程的解的情况等价于方程的解的情况等价于函数与的交点的情况，作函数与的图象如下，函数与的图象有两个交点，且在y轴的两侧，故选：5.已知是实数，函数在区间与上各有一个零点，则的取值范围是 答案 解析 函数在区间与上各有一个零点，解得故答案为 6.函数的零点的个数是 . 答案 解析 在同一坐标系中画出函数与的图象如图所示，因为函数与的图象有两个交点，所以函数的零点个数为7.已知，方程在区间上有两个不同的实根，求的最小值答案 解析 设和方程 有两个相异根，由，两个根都在区间上，可得函数在区间上与轴有两个不同的交点，故有，且，且，且 ，且故的最小值为，故有 当
9、时，正整数不存在；当时，正整数不存在；当时，正整数不存在；当时，存在正整数综上可得，的最小值为，的最小值为，的最小值为，故的最小值为8.已知函数的两个不同的零点为()证明：；()证明：；()若满足，试求的取值范围答案 () 略 () 略 () 解析 ()由题意知，x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+x+1=0的实数根，x1+x2=，x1x2=x1+x2=x1x2(1+x1)(1+x2)=1 ()证明：由于关于x一元二次方程ax2+x+1=0有两个不等实数根x1，x2，故有a0且=14a0 即x11，x21得证 ()解：由10，由得1=10， =+()=+， 当时，a取最大值为；当或时，a取最小值；又因为，故a的取值范围是 .
