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1、第四章 三角函数第一节 三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式1.（2023全国甲卷理科7）“”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解.【解析】当，时，有，但，即推不出；当时，即能推出.综上可知，是成立的必要不充分条件.故选B. 2.（2023北京卷13）已知命题若为第一象限角，且，则.能说明为假命题的一组的值为 ； .【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.【解析】因为在上单调递增，若，则，取，则，即，令，则，因为，则，即，则.不妨取，即满足题意.故答案为：.3
2、.（2023全国乙卷文科14）若，则 . 【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果.【解析】因为，则，又因为，则，且，解得或（舍去），所以.故答案为.第二节 三角恒等变换1.（2023新高考I卷6）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）A.B.C.D.【解析】，所以圆心为，记，设切点为，如图所示.因为，故，.故选B.2.（2023新高考I卷8）已知，则（ ）A.B.C.D.【解析】，所以，所以，.故选B.3.（2023新高考II卷7）已知为锐角，则（ ）A. B. C. D.【解析】，所以，则或.因为为锐角，所以，舍去，得.故选D.第三节 三角函数的图像与性质1.（2023新高考II卷16）
3、已知函数，如图所示，A，B是直线与曲线的两个交点，若，则_.【解析】的图象与直线两个相邻交点的最近距离为，占周期的，所以，解得，所以.再将代入得的一个值为，即.所以.2.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知为函数向左平移个单位所得函数，则与交点个数为（ ）A. B. C.3 D.4【解析】因为函数向左平移个单位可得而过与两点，分别作出与的图像如图所示，考虑，即处与的大小关系，结合图像可知有3个交点. 故选C.3.（2023全国乙卷理科6，文科10）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（ ）A. B. C. D.【解析】，所以又，则.所以故选D.【评注】本题考查了三角
4、函数图像与性质，当然此题也可以通过画图快速来做，读者可以自行体会.4.（2023全国乙卷理科10）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）A. B. C. D.【解析】解法一（利用三角函数图像与性质）因为公差为，所以只考虑，即一个周期内的情形即可.依题意，即中只有2个元素，则中必有且仅有2个相等.如图所示，设横坐标为的点对应图像中点.当时，且，所以图像上点的位置必为如图1所示，关于对称，且，则，.所以.当时，所以图像上点的位置必为如图2所示，关于对称，且，则，.所以.综上所述，.故选B.解法二（代数法），由于，故中必有2个相等.若，即，解得或.若，则，若，则，故.若，得，解得或.当时，当时，故
5、.若，与类似有.综上，故选B.5.（2023北京卷17）已知函数.（1）若，求的值；（2）若在区间上单调递增，且，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值.条件：；条件：；条件：在上单调递减.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；（2）若选条件不合题意；若选条件，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件所给的条件一样，解法与条件相同【解析】
6、（1）因为所以，因为，所以.（2）因为，所以，所以的最大值为，最小值为.若选条件：因为最大值为，最小值为，所以无解，故条件不能使函数存在；若选条件：因为在上单调递增，且，所以,所以,所以，又因为，所以，所以，所以，因为，所以.所以，；若选条件：因为在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最小值，即.以下与条件相同6.（2023天津卷5）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（）A B CD【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.【解析】选项中的解析式均为三角函数的形式，所以由最小正周期求：排除选项C，D；对于
7、A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A；对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴.故选B.第四节 解三角形1.（2023全国甲卷理科16）在中，为上一点，平分，则 .【解析】如图所示，记由余弦定理可得，解得（负值舍去）.由可得，解得.2.（2023全国甲卷文科17）记的内角的对边分别为，已知.（1）求.（2）若，求面积 . 【分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出【解析】（1）因为，所以，解得（2）由正弦定理可得，变形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面积为3.（2023全国乙卷理科18）在中，.（1
8、）求；（2）若为上一点，且，求的面积.【解析】（1）利用余弦定理可得.故.又由正弦定理可知.故.（2）由（1）可知，在中，故，又，所以.4.（2023全国乙卷文科4）在中，内角的对边分别是，若，且，则 （ ）A. B. C. D.【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值.【解析】由题意结合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，据此可得，则.故选C.5.（2023新高考I卷17）已知在中，.（1） 求；（2） 设，求边上的高.【解析】（1）解法一 因为，所以，所以，.解法二 因为，所以，所以，所以，所以，故，即，得.又，得.（2
9、） 若. 如图所示，设边上的高为，边上的高为， ，由（1）可得，所以，.6.（2023新高考II卷17）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为的中点，且.（1） 若，求；（2） 若，求.【解析】（1）依题意，解得，.如图所示，过点作于点.因为，所以,则，所以.（2）设，由极化恒等式得，即，化简得，即，又，即.得，得，代入得，与联立可得.7.（2023北京卷7）在中，则（ ）A. B. C. D.【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【解析】因为，所以由正弦定理得，即，则，故，又，所以.故选B.8.（2023天津卷16）在中，角所对的边分別是已知(1)求的值；(2)求的值；(3)求【分析】（1）根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出【解析】（1）由正弦定理可得，即，解得：；（2）由余弦定理可得，即，解得：或（舍去）（3）由正弦定理可得，即，解得：，而，所以都为锐角，因此，故
