《【高考数学精讲精练】第6讲 一网打尽外接球与内切球14大核心考点问题（精讲精练）（原卷及答案）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【高考数学精讲精练】第6讲 一网打尽外接球与内切球14大核心考点问题（精讲精练）（原卷及答案）（92页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【高考数学精讲精练】第6讲一网打尽外接球与内切球14大核心考点问题【命题规律】纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见，此部分是重点也是一个难点，属于中等难度【核心考点目录】核心考点一：正方体、长方体外接球核心考点二：正四面体外接球核心考点三：对棱相等的三棱锥外接球核心考点四：直棱柱外接球核心考点五：直棱锥外接球核心考点六：正棱锥与侧棱相等模型核心考点七：侧棱为外接球直径模型核心考点八：共斜边拼接模型核
2、心考点九：垂面模型核心考点十：二面角模型核心考点十一：坐标法核心考点十二：圆锥圆柱圆台模型核心考点十三：锥体内切球核心考点十四：棱切球【真题回归】1（2022全国高考真题（文）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）ABCD2（2021全国高考真题（理）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（）ABCD3（2022全国高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）ABCD4（2022全国高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若
3、该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（）ABCD5（2020全国高考真题（理）已知为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，则球的表面积为（）ABCD6（2020全国高考真题（理）已知ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16，则O到平面ABC的距离为（）ABC1D【方法技巧与总结】1、补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示 （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示 （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内
4、，如图4所示图1 图2 图3 图4【核心考点】核心考点一：正方体、长方体外接球【规律方法】1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半【典型例题】例1（2023全国高三专题）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的体对角线等于（）AB4CD.例2（2022陕西西安模拟预测（文）长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（）ABCD例3（2022贵州黔南高三开学考试（理）自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为
5、“公园中的城市”截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为_核心考点二：正四面体外接球【规律方法】如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为【典型例题】例4（2022黑龙江哈九中模拟预测（理）已知正四面体外接球表面积为，则该正四面体棱长为_；若为平面内一动点，且 ，则最小值为_例5（2022江苏南京高三开学考试）已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与
6、以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度为_.例6（2022福建福州三中模拟预测）表面积为的正四面体的外接球的表面积为（）ABCD核心考点三：对棱相等的三棱锥外接球【规律方法】四面体中，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以【典型例题】例7（2022全国高三专题）在四面体中，则其外接球的表面积为_.例8（2022全国高三专题）已知四面体中，若该四面体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）ABCD例9（2020全国模拟预测（文）在三棱锥中，若，
7、其外接球的表面积为（）ABCD核心考点四：直棱柱外接球【规律方法】如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：，解出【典型例题】例10（2022河南新乡一模（理）已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，若该正三棱柱的外接球体积为，当最大时，该正三棱柱的体积为（）ABCD例11（2022湖南岳阳高三阶段）已知直三棱柱中，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（）ABCD例12（2021四川泸州二模（文）直六棱柱的底面是正六边形，其体
8、积是，则该六棱柱的外接球的表面积的最小值是（）ABCD核心考点五：直棱锥外接球【规律方法】如图，平面，求外接球半径解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：；【典型例题】例13（2022内蒙古鄂尔多斯高三期中（文）三棱锥中，平面，为直角三角形，则三棱锥的外接球的表面积为（）ABCD例14（2022福建宁德市民族中学高三期中）已知三棱锥P-ABC中，底面ABC，PAABAC2，BAC120，则三棱锥P-ABC的外接球的表
9、面积为（）ABCD例15（2021四川成都高三开学考试（文）已知在三棱锥中，侧棱平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）ABCD核心考点六：正棱锥与侧棱相等模型【规律方法】1、正棱锥外接球半径： 2、侧棱相等模型：如图，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点 解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：，解出【典型例题】例16（2022江西金溪一中高三阶段（文）在正三棱锥SABC中，ABC的边长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为_例17（2022全国高三专题）已知正三棱
10、锥，其外接球球的半径为，则该正三棱锥的体积的最大值为_例18（2022全国高三专题）已知正三棱锥的棱长为，底面边长为6则该正三棱锥外接球的表面积为_例19（2022全国高三专题）三棱锥体积为，且，则三棱锥外接球的表面积为_例20（2022全国高三专题）在三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为_.核心考点七：侧棱为外接球直径模型【规律方法】找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形【典型例题】例21（2022河南河南一模（文）三棱锥的外接球的表面积为是该球的直径，则三棱锥 的体积为_.例22（2022河南一模（理）三棱锥的外接球的表面积为，AD是该球的直径，是边长为的正三角形，则三棱锥的体积为_例2
11、3（2021全国高三专题（文）已知三棱锥PABC中，AC=2，PA为其外接球的一条直径，若该三棱锥的体积为，则外接球的表面积为_核心考点八：共斜边拼接模型【规律方法】如图，在四面体中，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，即点到，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径【典型例题】例24在矩形中，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）A B C D例25三棱锥中，平面平面， ，则三棱锥的外接球的半径为 例26在平行
12、四边形中，满足，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为ABCD核心考点九：垂面模型【规律方法】如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径 图1 图2【典型例题】例27（2022全国高三专题）三棱锥中，平面平面， ，则三棱锥的外接球的半径为_例28（2022安徽马鞍山一模（文）三棱锥中，与均为边长为的等边三角形，平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为_例29（2022全
13、国高三专题）三棱锥中，是边长为的等边三角形，平面平面，则该三棱锥的外接球的体积为_例30（2021全国高三专题）已知在三棱锥中， ，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为_核心考点十：二面角模型【规律方法】如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径 【典型例题】例31（2022贵州模拟预测（理）如图，在三棱锥中，是边长为的正三角形，二面角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为_.例32（2022江西赣州高三阶段（文）已知菱形的边长为2，且，沿把折
