第18讲 直线与圆常考6种题型总结【考点分析】考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆考点二：圆的标准方程设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为：考点三：圆的一般方程圆的一般方程为，圆心坐标：，半径： 注意：①对于的取值要求：当时，方程只有实数解．它表示一个点当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．②二元二次方程，表示圆的充要条件是 考点四：以 为直径端点的圆的方程为 考点五： 阿波罗尼斯圆设为平面上相异两定点，且，为平面上异于一动点且（且）则点轨迹为圆.考点六：直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离，圆的半径为，则直线与圆的位置关系 几何意义 代数意义 公共点的个数①直线与圆相交 两个②直线与圆相切 一个③直线与圆相离 0个注：代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于的一元二次方程 考点七：直线与圆相交的弦长问题法一：设圆心到直线的距离，圆的半径为，则弦长法二：联立直线方程与圆方程，得到关于的一元二次方程 ，利用韦达定理，弦长公式即可【题型目录】题型一：圆的方程题型二：直线与圆的位置关系题型三：直线与圆的弦长问题题型四：圆中的切线 切线长和切点弦问题题型五：圆中最值问题题型六：圆与圆的位置关系问题【典型例题】题型一：圆的方程【例1】顶点坐标分别为，，．则外接圆的标准方程为______．【答案】【解析】设圆的标准方程为，因为过点，，所以 解得 则圆的标准方程为故答案为：【例2】已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）A． B． C．4 D．8【答案】B【分析】求出圆心坐标，进而求出a，b的关系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答.【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，因此，即，，当且仅当，即时“=”，所以的最小值为.故选：B【例3】过点，且圆心在直线上的圆的方程为_______．【答案】【分析】设圆的标准方程为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解.【详解】设圆的标准方程为，因为圆过点，且圆心在直线上，则有，解得，所以所求圆的方程为．故答案为：.【例4】设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由方程表示圆可构造不等式求得的范围，根据推出关系可得结论.【详解】若方程表示圆，则，解得：；∵，，，甲是乙的必要不充分条件.故选：B.【例5】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（ ）米.（注意：≈）A．6.48 B．5.48 C．4.48 D．3.48【答案】A【解析】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为（0，a），则P(0,10),A(-50,0).可设圆拱所在圆的方程为,由题意可得：解得： .所以所求圆的方程为.将x=-30代入圆方程,得: ,因为y>0,所以.故选：A.【例6】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则面积的最大值是（ ）A． B．2 C． D．4【答案】C【解析】设经过点A，B的直线为x轴，的方向为x轴正方向，线段AB的垂直平分线为y轴，线段AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系.则，．设，∵，∴，两边平方并整理得，即．要使的面积最大，只需点P到AB（x轴）的距离最大时，此时面积为．故选：C.【题型专练】1．设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．【答案】【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】解：∵点M在直线上，∴设点M为，又因为点和均在上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴，，解得，∴，，的方程为.故答案为：2.经过三个点的圆的方程为（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据三点在坐标系的位置，确定出是直角三角形，其中是斜边，则有过三点的圆的半径为的一半，圆心坐标为的中点，进而根据圆的标准方程求解.【详解】由已知得，分别在原点、轴、轴上，，经过三点圆的半径为，圆心坐标为的中点，即，圆的标准方程为.故选：C.3.过四点中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】或或或（答案不唯一，填其中一个即可）【解析】设圆的方程为若圆过，，三点，则，解得，故圆的方程为；若圆过，，三点，则，解得，故圆的方程为；若圆过，，三点，则，解得，故圆的方程为；若圆过，，三点，则，解得，故圆的方程为.4.已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出表示圆的充要条件，然后可判断出答案.【详解】若表示圆，则，解得.“”是“”表示圆的必要不充分条件，所以实数的取值范围是.故选：B5.若两定点，，动点M满足，则动点M的轨迹围成区域的面积为（ ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件求出动点M的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答.【详解】设，依题意，，化简整理得：，因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，所以动点M的轨迹围成区域的面积为.故选：D6.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满足＝.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ）A．轨迹C的方程为（x＋4）2＋y2＝9B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得＝C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线D．在C上存在点M，使得【答案】BC【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.【详解】在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满足，设P（x，y），则，化简得（x＋4）2＋y2＝16，所以A错误；假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得，设D（m，0），E（n，0），则，化简得3x2＋3y2－（8m－2n）x＋4m2－n2＝0，由轨迹C的方程为x2＋y2＋8x＝0，可得8m－2n＝－24，4m2－n2＝0，解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4（舍去），即在x轴上存在异于A，B的两点D，E使，所以B正确；当A，B，P三点不共线时，，可得射线PO是∠APB的平分线，所以C正确；若在C上存在点M，使得，可设M（x，y），则有＝2，化简得x2＋y2＋x＋＝0，与x2＋y2＋8x＝0联立，方程组无解，故不存在点M，所以D错误．故选：BC【点睛】关键点睛：运用两点间距离公式是解题的关键.7．已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离满足，则在O，A，M三点所能构成的三角形中面积的最大值是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】设，求出点轨迹方程得其轨迹，由面积公式转化为，由三角形面积公式易得最大值．【详解】设，则得，化简整理得，所以点轨迹是以为圆心，2为半径的圆，如图，，，易知时，取得最大值3．故选：C．题型二：直线与圆的位置关系【例1】直线与圆的位置关系是（ ）A．相交 B．相离C．相切 D．无法确定【答案】A【分析】直线l过定点，求出定点的坐标，根据定点与圆的位置关系来确定l与圆的位置关系.【详解】由 得： ，所以直线l过定点 ，圆 的圆心为原点，半径为 ，由 知：点A在圆内，所以直线l与圆相交；故选：A.【例2】（黑龙江哈尔滨市）若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线方程为，即，圆心为，半径为，所以圆心到直线得距离，解得【例3】直线 与曲线只有一个公共点，则实数范围是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】确定直线恒过定点，确定曲线表示圆心为，半径为1，且位于直线右侧的半圆，包括点，由直线与圆位置关系解决即可.【详解】由题知，直线 恒过定点，曲线表示圆心为，半径为1，且位于直线右侧的半圆，包括点，当直线经过点时，与曲线有2个交点，此时，不满足题意，直线记为，当直线经过点时，与曲线有1个交点，此时，满足题意，直线记为，如图，当直线与半圆相切时，由，解得，直线记为，由图知，当或，与曲线有1个交点，故选：C【例4】已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）A．若点在圆上，则直线与圆相切B．若点在圆内，则直线与圆相交C．若点在圆外，则直线与圆相离D．若点在直线上，则直线与圆相切【答案】AD【分析】根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可．【详解】解：圆心到直线的距离，若点在圆上，则，所以，则直线与圆相切，故A正确；若点在圆内，则，所以，则直线与圆相离，故B错误；若点在圆外，则，所以，则直线与圆相交，故C错误；若点在直线上，则，即，所以，直线与圆相切，故D正确．故选：AD．【题型专练】1.直线与圆的公共点个数为 （ ）A．个 B．个 C．个 D．个或个【答案】D【解析】将直线变形为，令，解得，所以直线过定点，因为，所以点在圆上，所以直线与圆相切或者相交2.已知关于的方程有两个不同的实数根，则实数的范围______.【答案】【分析】画出和的图像，数形结合得出实数的范围.【详解】设，，图像如图所示，当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，解得：（舍），或当直线过点时，可求得直线的斜率，则利用图像得：实数的范围为故答案为：3.（2022全国新高考2卷）设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆C：＋＝1有公共点，则a的取值范围为_______．【答案】【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，即，解得，即；故答案为：题型三：直线与圆的弦长问题【例1】已知圆C：与直线l：x-y-1=0相交于A，B两点，若△ABC的面积为2，则圆C的面积为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，由圆C方程可知圆心，半径为a，由点到直线的距离公式可知圆心C到直线l的距离，又△ABC的面积为，解得，由勾股定理可得，则a=2，即圆C的半径为2.则圆C的面积为.故选：C.【例2】已知圆，过点的直线，，…。
