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1、第十四章导数及其应用考纲导读1. 了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等)；掌握函 数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2. 熟记八个基本导数公式(c, x，”(m为有理数)，&*,*件，1皿奖次 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.3. 理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分 条件(导数在乎值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.知识网络导数的概念 导数的求法一和、差、积、商、复合函数的导数导数函数的单调性导数的应
2、用函数的极值函数的最值高考导航导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大(小)值，以及最大(小)值等，遇 到有关问题要能自觉地运用导数.第1课时变化率与导数、导数的计算基础过关1. 导数的概念：函数y=的导数广(x),就是当Axt 0时，函数的增量Ay与自变量的增量 x的比生的,即广=.Ax2. 导函数：函数y=.f(x)在区间(a, b)内 的导数都存在，就说.f(x)在区间(a, b )内,其导数也是(a , b )内的函数，叫做f(x)的,记作广或y；,函数f(x) 的导函数广在x = x()时的函数值,就是f(x)在xo处的导数.3. 导数的几何意义：设函数y= /(.0在点X。处可
3、导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲 线在相应点M(X。, y()处的.4. 求导数的方法(1) 八个基本求导公式(C) =;(x)=; (nEQ)(sin x)r , (cosx) (exS =, (axS =(Inx/ = ， (loga x) =(2) 导数的四则运算( V) = Cf (A-) =(v) = ，(*) =( v * 0)(3) 复合函数的导数设=6(.r)在点x处可导,y = f(u)在点=0x)处可导，则复合函数W(x)在点x处可导,且fx)=，即 yx = yu-ux-典型例题例1.求函数y= +1在X。到xt,+ A x之间的平均变化率.解勺=农+1-7= m+
4、b+ijTJ (尤0 + Ax)(x。+ A%)? + + Xq + 1J (工0 + A%)2 + + Xq + 1变式训练1.求y=4x在x二xo处的导数.2 Jxq+x-Jx(Jx0 + Ax - Jx7)(Jx0 + Ax +hm = hm =hm /= AxtO Ax AxtO AxAxtO 怂+ Ax + Jx。)Axt。Jo+Ax + To 2 反 例2.求下列各函数的导数:z 1、 yx +x5 + sin x尸一?一;(3 ) y = -sin-|-l-2cos2-jj;解(I)： y=x2+xFx=3+,.3+蚂 x2x2：y = (x 2 )z + (x3 *)r + (
5、x-2 sin x)r =x 2 + 3x2 - 2x-3 sin x + x2 cos x. +1 + -y Xq +1(2) y = (x + l)(x + 2)(x + 3);(4)2x0Ax + (Ax) . Ay _ 2xq + Ax.x( x 1 . y - sml - cos 2 I= *2 sin x,y - sinx = (sinxY = cosx.2 J 22(4) ),= 1|1 = 1 +爪+ 1-爪=2,1 /X1 + y/X (1 y/X)(l + x)1 X(2 V_-2(l-xy2变式训练2:求)十2皿的导数.aw !( sinx (sin x)r cos x
6、- sin x(coscos2x + sin2x 1腓 y =2=2=- cosxycos xcos x cos x例3.已知曲线y=-?+-.33(1) 求曲线在X=2处的切线方程；(2) 求曲线过点(2, 4)的切线方程.解 (1) *=/,.在点P (2, 4)处的切线的斜率k=y |x=2=4.曲线在点P (2, 4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)设曲线y=|x3 + |-与过点P (2, 4)的切线相切于点则切线的斜率k=y I.I 切线方程为 y_gx/+( = x3(x_xo),即 y = x-x-xl+.点 P (2, 4)在切线上，BP Xq
7、- 3xq +4 = 0, /. Xq + Xq 4%q +4 = 0, Xq (xq +1) 4(xg + l)(xg 1) = 0,(Xo+1)(Xo2)2=0,解得 Xo=-1 或 Xo=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=o.变式训练3：若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k=.答案2或一*4例4.设函数f(x)= ax + - (a, bez),曲线v = /(x)在点(2,/(2)处的切线方程为y=3. x + b(1) 求f(x)的解析式;(2) 证明：曲线y = /(.r)任一点的切线与直线x=l和直线y=x所围二角形的面积为定值，并 求出此定值.
8、(x + b)2于是c1 c2a H= 3,2了 解得。y = 0,(2 + 8)2“T或.b = T,9 a =,4b二 .3因为 a, beZ,故 f(x) = x+. x-1(2)证明在曲线上任取一点叫+土.山色x) = l知，过此点的切线方程为(I)-V； - -V, +1,1,、y(X-%).%-i L (L-1)令X=l,得y=m，切线与直线X=1交点为也-1I Xo-1J令y=x,得y = 2x0-l,切线与直线y=x的交点为(2工0-1,2工0-1).直线x二1与直线y二x的交点为(1,1) .从而所围三角形的面积为_L5_1|2l-1-1| = L|2x-2| = 2.2工一
9、12x0-l所以，所围三角形的面积为定值2.变式训练4：偶函数f (x) =ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P (0, 1),且在x二1处的切线方程为y二x-2,求y二f (x)的解析式.解 Vf (x)的图象过点P (0, 1), .e=l.又(x)为偶函数，.f (-x)二f (x)故 ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.*.b=0, d二0.f (x) =ax4+cx2+l.函数f (x)在x=l处的切线方程为y=x-2,.可得切点为(1, -1)a+c+l=_l.V /r(l) = (4ax3+2cx) |x=i=4a+2c,4a+2c=l.由得a=|-, c=-|.函数y=f (x)的解析式为f(i) = m4_|x2 + 小结归纳1. 理解平均变化率的实际意义和数学意义。2. 要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导.3. 搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础.第2课时 导数的概念及性质基础过关1. 函数的单调性 函数y=f(x)在某个区间内可导，若广(x)0,则.f(x)为；若f(x)0, e-aO, e*Na, xNlna. f (x)的单调递增区间为(Ina,+8).(2) Vf (x )在10, .a0 在(-8,+8)上恒成立，即 aW3x对 x/R 恒成立.
