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1、北京爱迪学校高三数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知命题：，：，则是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 参考答案：A2. 若,则直线=1必不经过 （ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：；因为所以；所以选B.3. 已知，则A. B. C. D. 参考答案：C略4. 设集合，则 （ ） A B C D 参考答案：C5. 已知数列的首项，前n项和为，且满足，则满足的n的最大值是 （ ）A8B9C10D11参考答案：B当 时，得 。当
2、时，有，两式相减得 。再考虑到，所以数列是等比数列，故有。因此原不等式化为，化简得，得 ，所以n的最大值为9.6. 设xR，向量=（x，1），=（4，2），且，则|=（）AB5CD参考答案：A【考点】平面向量的坐标运算【分析】由向量平行，先求出，再由平面向量运算法则求出，由此能求出|【解答】解：xR，向量=（x，1），=（4，2），且，=，解得x=2，=（2，1），=（2，1），|=故选：A【点评】本题考查向量的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量运算法则的合理运用7. 设，则A. B. C. D. 参考答案：C，。因为，所以，即。选C.8. 一组数据共有7个数，记得其中有10，
3、2，5，2，4，2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为（）A9B3C17D11参考答案：A【考点】众数、中位数、平均数；等差数列的性质【分析】设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出关系式，因为所写出的结果对于x的值不同所得的结果不同，所以要讨论x的三种不同情况【解答】解：设这个数字是x，则平均数为，众数是2，若x2，则中位数为2，此时x=11，若2x4，则中位数为x，此时2x=，x=3，若x4，则中位数为4，24=，x=17，所有可能值为11，3，17，其和为9故选A【点评】本题考查众数，中位数，平均数，考查等
4、差数列的性质，考查未知数的分类讨论，是一个综合题目，这是一个易错题目9. 对任意x（0，），不等式tanx?f（x）f（x）恒成立，则下列不等式错误的是（）Af（）f（）Bf（）2cos1?f（1）C2cos1?f（1）f（）D f（）f（）参考答案：D【考点】函数的单调性与导数的关系；导数的运算【专题】导数的概念及应用【分析】构造函数F（x）=cosxf（x），求导数结合已知条件可得函数F（x）在x（0，）上单调递增，可得F（）F（）F（1）F（），代值结合选项可得答案【解答】解：x（0，），sinx0，cosx0，构造函数F（x）=cosxf（x），则F（x）=sinxf（x）+cosxf
5、（x）=cosxf（x）tanxf（x），对任意x（0，），不等式tanx?f（x）f（x）恒成立，F（x）=cosxf（x）tanxf（x）0，函数F（x）在x（0，）上单调递增，F（）F（）F（1）F（），cosf（）cosf（）cos1f（1）cosf（），f（）f（）cos1f（1）f（），f（）f（）2cos1f（1）f（），结合选项可知D错误故选：D【点评】本题考查函数的单调性和导数的关系，构造函数是解决问题的关键，属中档题10. 已知x0，y0，若恒成立，则实数m的取值范围是( )Am4或m2 Bm2或m4 C2m4 D4m2参考答案：D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分
6、,共28分11. 已知集合 ，若是必要不充分条件，则实数 的取值范围是_ 参考答案：略12. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为_.参考答案：试题分析：因为，所以，因为，所以为的中点，又因为为的中点，所以，所以，因为抛物线的方程为，所以抛物线的焦点坐标为，即抛物线和双曲线的右焦点相同，过点作的垂线，过点作，则为抛物线的准线，所以，所以点的横坐标为，设,在中，即，解得.考点：双曲线的简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程、以及谁去下的简单的几何性质的应用，同时考查了双曲线的定义及性质，着重考查了学生推理与运算能力、数形结合
7、思想、转化与化归思想的应用，属于中档试题，本题的解答中，根据题意得到抛物线和双曲线的右焦点相同，得出点的横坐标为，再根据在中，得出是解答的关键.13. 若双曲线的一条渐近线经过点(3,4)，则此双曲线的离心率为;参考答案：14. （理科）对任意xR，|2x|3x|a24a恒成立，则a满足的范围是 参考答案：1,515. 若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是_.参考答案：略16. 已知正实数a,b满足，则ab的最小值是_ .参考答案：略17. 已知， 是虚数单位. 若, 则 _.参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在中，角的
8、对边分别为 已知.（1）若，求的值；（2）若，求的值参考答案：（1）因为，则由正弦定理，得 2分又，所以，即 4分又是的内角，所以，故 6分（2）因为， 所以，则由余弦定理，得，得 10分从而， 12分又，所以从而 14分19. 已知数列an前n项的和为Sn且,.（1）求证：数列是等差数列； （2）证明：当时,.参考答案：（1）当时，从而构成以1为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）可知，当时，从而20. （12分）如图，在平面四边形ABCD中，已知A=，B=，AB=6，在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED若CED=，EC=（）求sinBCE的值；（）求CD的长参考答案：【考点】
9、三角形中的几何计算【分析】（）在CBE中，正弦定理求出sinBCE；（）在CBE中，由余弦定理得CE2=BE2+CB22BE?CBcos120，得CB由余弦定理得CB2=BE2+CE22BE?CEcosBEC?cosBEC?sinBEC、cosAED在直角ADE中，求得DE=2，在CED中，由余弦定理得CD2=CE2+DE22CE?DEcos120即可【解答】解：（）在CBE中，由正弦定理得，sinBCE=，（）在CBE中，由余弦定理得CE2=BE2+CB22BE?CBcos120，即7=1+CB2+CB，解得CB=2由余弦定理得CB2=BE2+CE22BE?CEcosBEC?cosBEC=?
10、sinBEC=，sinAED=sin（1200+BEC）=，?cosAED=，在直角ADE中，AE=5，cosAED=，?DE=2，在CED中，由余弦定理得CD2=CE2+DE22CE?DEcos120=49CD=7【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题21. 已知点，动点P到直线的距离与动点P到点F的距离之比为.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F作任一直线交曲线C于A,B两点，过点F作AB的垂线交直线于点N；求证：ON平分线段AB.参考答案：（1）.（2）证明见解析【分析】（1）设，几何关系代数化，得到，化简即得解；（2）设AB的直线方程为，与椭圆联立得到M点坐标，
11、表示直线ON方程，验证M在ON上即可.【详解】（1）设,则化简得（2）设AB的直线方程为则NF的直线方程为联立得直线ON的方程为联立得设,则设AB的中点为,则将点M坐标代入直线ON的方程点M在直线ON上 点M平分线段AB【点睛】本题考查了直线和圆锥曲线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.22. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+acosB=（1）求A的大小（2）若c=3b，求tanC的值参考答案：考点：余弦定理；正弦定理 专题：计算题；三角函数的求值；解三角形分析：（1）运用正弦定理和诱导公式以及两角和的正弦公式，结合同角的基本关系式，化简整理，即可得到A；（2）运用三角形的内角和定理和正弦定理，结合同角的商数关系，化简整理，即可得到所求值解答：解：（1）由正弦定理可得，sinAsinB+sinAcosB=sinC，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，即有sinAsinB=cosAsinB，即tanA=，0A，则A=；（2）由A=，则B+C=，由正弦定理，可得c=3b，即为sinC=3sinB，即sinC=3sin（C）=3（cosC+sinC），即有sinC=3cosC，则tanC=3点评：本题考查正弦定理的运用，同时考查三角函数的化简和求值，运用两角和差的正弦公式和诱导公式是解题的关键
