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1、内蒙古自治区呼和浩特市单台子中学2022年高三数学文摸底试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列选项叙述错误的是（） A.命题“若xl，则x23x十20”的逆否命题是“若x23x十20，则x1” B.若pq为真命题，则p，q均为真命题 C.若命题p：xR，x2x十1#0，则p：R，x2x十10 D“x2”是“x2一3x20，的充分不必要条件参考答案：B2. 若a、bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()A. a2b22ab B. ab2 C. D. 参考答案：D略3. 为了测量一古塔的高度，某人在塔的正西
2、方向的A地测得塔尖的仰角为，沿着A向北偏东前进100米到达B地（假设A和B在海拔相同的地面上），在B地测得塔尖的仰角为 ，则塔高为（ ）A100米 B 50米 C120米 D150米参考答案：B4. 如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A27B48C64D81参考答案：C【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】作出几何体的直观图，确定外接球的球心位置，利用勾股定理求出外接球半径即可得出表面积【解答】解：由三视图可知该几何体为三棱锥，棱锥的高VA=4，棱锥底面ABC是边长为6的等边三角形，作出直观图
3、如图所示：ABC是边长为6的等边三角形，外接球的球心D在底面ABC的投影为ABC的中心O，过D作DEVA于E，则E为VA的中点，连结OA，DA，则DE=OA=2，AE=VA=2，DA为外接球的半径r，r=4，外接球的表面积S=4r2=64故选C5. “”是“”恒成立的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分也不必要条件参考答案：A设 成立；反之， ，故选A.6. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 参考答案：B7. 若且则函数的图象大致是（）参考答案：B8. 已知向量=（1，x1），=（y，2），若，则xy的最
4、大值为（）ABC1D2参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算【分析】由向量垂直得到x，y的关系，把y用含有x的代数式表示，代入xy，然后利用配方法求最值【解答】解：由=（1，x1），=（y，2），且，得1y+2（x1）=0，即2x+y2=0y=22x，则xy=x（22x）=2x2+2x=xy的最大值为故选：B9. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ）A把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2C把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐
5、标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2D把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2参考答案：B10. 已知数列的前n项和Sn满足，那么为（ ） A B C D参考答案：答案:A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直线 (为参数)被双曲线截得的弦长为 .参考答案：略12. 己知，以为直径的圆交轴于两点，则 .参考答案：2以为直径的圆的圆心为,半径为,则圆的方程为,令,解得,所以.13. 如右图，如果执行右面的程序框图，输入正整数，满足，那么输出的等于_参考答案：14. 如图，在ABC中，则的值为 参考答案：2试题分析：
6、15. 设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r；类比这个结论可知：四面体S -ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体S -ABC的体积为V，则R 参考答案：【答案解析】 解析：由二维推广到三维，把面积换成体积，把边长和换成表面积和即可.【思路点拨】由类比推理知，把平面上的结论类比到空间.16. 已知a，b1，1，则不等式x22ax+b0在xR上恒成立的概率为参考答案： 【考点】几何概型【分析】由于涉及两个变量，故以面积为测度，计算概率【解答】解：a，b1，1，则区域面积为4，不等式x22ax+b0在xR上恒成立，则4a24b
7、0，区域面积为2=，不等式x22ax+b0在xR上恒成立的概率为，故答案为【点评】本题主要考查概率的建模和解模能力，本题涉及两个变量，故以面积为测度，再求比值17. 设二次函数的值域为，则的最大值为 参考答案：因为二次函数的值域为，所以有，且，即，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以最小值无。三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，已知椭圆，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线、的斜率
8、分别为、，证明；(3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.参考答案：解(1)由题意知，椭圆中，得，又，所以可解得，所以，所以椭圆的标准方程为；分所以椭圆的焦点坐标为(，0)，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为分(2)设，则分 因为点在双曲线上，所以分因此 即分(3)由于的方程为，将其代入椭圆方程得由韦达定理得分 同理可得 则，又 ,故 即存在， 使恒成立分19. 已知函数的定义域为，对定义域内的任意，满足，当时，为常数，且是函数的一个极值点.（）若时，求实数的取值范围；（）求证：.参考答案：解：（）由题意对定义域内的任意，为奇函数
9、，当时，则当时，由解得，经验证，满足题意； 时， 当时，令，则当时，恒成立，转化为在上恒成立，令，在上单调递增，在上单调递增， 即实数的取值范围为.（）由（）可知，当时，即则令，则，即当时，可得 略20. （坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的轴的非负半轴为极轴，曲线的极坐标系方程为，直线的参数方程为（为参数），则与的交点A的直角坐标是 参考答案： 略21. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中为参数），曲线C2：（x1）2+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（）若射线=（0）与曲线C1，C2分别交于A，
10、B两点，求|AB|参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程【分析】（）由sin2+cos2=1，能求出曲线C1的普通方程，由x=cos，y=sin，能求出曲线C2的极坐标方程（）依题意设A（），B（），将（0）代入曲线C1的极坐标方程，求出1=3，将（0）代入曲线C2的极坐标方程求出，由此能求出|AB|【解答】解：（）曲线C1的参数方程为（其中为参数），曲线C1的普通方程为x2+（y2）2=7曲线C2：（x1）2+y2=1，把x=cos，y=sin代入（x1）2+y2=1，得到曲线C2的极坐标方程（cos1）2+（sin）2=1，化简，得=2cos（）依题意设A
11、（），B（），曲线C1的极坐标方程为24sin3=0，将（0）代入曲线C1的极坐标方程，得223=0，解得1=3，同理，将（0）代入曲线C2的极坐标方程，得，|AB|=|12|=3【点评】本题考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查考生运算求解能力、考查化归与转化思想、考查分析问题、解决问题能力22. 已知等差数列an的前n项的和为Sn，非常数等比数列bn的公比是q，且满足：a1=2，b1=1，S2=3b2，a2=b3（）求an与bn；（）设cn=2bn?，若数列cn是递减数列，求实数的取值范围参考答案：【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和【分析】（）设等差数列an的公差为d，运用等差数列和等比数列的通项公式，计算即可得到；（）化简cn=2bn?=2n3n，由题意可得cn+1cn对nN*恒成立，运用参数分离和数列的单调性，求得最大值，即可得到所求范围【解答】解：（）设等差数列an的公差为d，则2+a2=3q，且a2=q2，即有q23q+2=0，解得q=2或1（舍去），即有a2=4，d=2，则an=2n，bn=2n1；（）cn=2bn?=2n3n，由题意可得cn+1cn对nN*恒成立，即有2n+13n+12n3n，即23n2n，即2（）n对nN*恒成立由f（n）=（）n为递减数列，即有f（n）的最大值为f（1）=，则有2，解得故实数的取值范围为（，+）
