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1、湖南省衡阳市市珠晖区第一中学高三数学文模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若实数，满足，则关于的方程（ ）A在区间(1,0)内没有实数根B在区间(1,0)内有一个实数根，在(1,0)外有一个实数根C在区间(1,0)内有两个相等的实数根D在区间(1,0)内有两个不相等的实数根 参考答案：D2. 已知为等比数列，则（ ） A.7 B.5 C. 5 D. 7参考答案：D 3. 已知函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）A B C D 参考答案：A4. 已知，则数列是 ( ）A 递增数列 B 递减数列 C 常数列
2、D 摆动数列参考答案：A5. 已知函数（其中）的部分图象如下图所示，为了得到的图象，则只需将的图象 ( )A向右平移个长度单位 B向左平移个长度单位C向右平移个长度单位D向左平移个长度单位 参考答案：A6. 展开式中的常数项为（ ）A20 B20 C12 D8参考答案：B7. 若命题：，命题：，则下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D.参考答案：【知识点】命题及其关系A2【答案解析】D 命题：为假命题，命题：假命题，所以为真命题,故选D。【思路点拨】根据命题间的关系判断真假。8. 面向量与的夹角为，, ，则 A B C D参考答案：B9. 设复数z=1i（i为虚数单位），z的共轭复数为
3、=（）AB2CD1参考答案：A略10. 已知ABC是边长为的正三角形，EF为ABC的外接圆O的一条直径，M为ABC的边上的动点，则的最大值为（）A3B4C5D6参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算【分析】首先，以边AB所在直线为x轴，以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系，然后，对点M的取值情况分三种情形进行讨论，然后运用数量积的坐标表示和二次函数的最值求法，求解其最大值【解答】解：如图所示，以边AB所在直线为x轴，以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系，该正三角形ABC的边长为2，A（，0），B（，0），C（0，3），E（0，1），F（0，3），当点M在边AB上时，设点M（x0，0），则x0
4、，=（x0，1），=（x0，3），?=x02+3，x0，?的最大值为3，当点M在边BC上时，直线BC的斜率为，直线BC的方程为： x+y3=0，设点M（x0，3x0），则0x0，=（x0， x04），=（x0， x0），?=2x024x0，0x0，?的最大值为0，当点M在边AC上时，直线AC的斜率为，直线AC的方程为： xy+3=0，设点M（x0，3+x0），则x00，=（x0，x04），=（x0， x0），?=4x024x0，x00，?的最大值为3，综上，最大值为3，故选：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数满足对任意的都有成立，则 参考答案：7 略12. 设
5、函数f（x）=2xcosx，an是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+f（a5）=5，则f（a3）2a1a5=参考答案：【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和【分析】由f（x）=2xcosx，又an是公差为的等差数列，可求得f（a1）+f（a2）+f（a5）=10a3，由题意可求得a3，从而进行求解【解答】解：f（x）=2xcosx，可令g（x）=2x+sinx，an是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+f（a5）=5g（a1）+g（a2）+g（a5）=0，则a3=，a1=，a5=f（a3）2a1a5=2=，故答案为：13. 已知正ABC的边长为4，若在ABC内任取一点，则
6、该点到三角形顶点A、B、C距离都不小于2的概率为参考答案：1【考点】几何概型【分析】先求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到三角形的顶点A、B、C的距离均不小于1的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：其中正三角形ABC的面积S三角形=4满足点到三角形顶点A、B、C距离都小于2的区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为2的半圆，则S阴影=22=2，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是P=1故答案为：114. 正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为
7、参考答案：1【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】作图分析【解答】解：如图：设正方体的棱长为a，则正方体的表面积为S=6a2；正四面体的边长为则其表面积为4?sin60=2a2；则面积比为6a2：2a2=：1故答案为：1【点评】考查了学生的空间想象力15. 在二项式的展开式中，常数项是_；系数为有理数的项的个数是_.参考答案： 5【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察的幂指数，使问题得解.【详解】的通项为可得常数项为，因系数为有理数，有共5个项【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，
8、特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.16. 双曲线C：的离心率为2，其渐近线与圆相切，则该双曲线的方程为 参考答案：由题意知，即，则，由圆的方程可知，其圆心坐标为，半径，不妨取双曲线渐近线，则，即，所以，则，故所求双曲线的方程为.17. 已知关于的方程有两个不等的负实数根；关于的方程的两个实数根，分别在区间与内（1）若是真命题，则实数的取值范围为_.（2）若是真命题，则实数的取值范围为_.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知数列an的前n项和为Sn，且向量，共线.（1）求证：数列an是等差数列.（2）求数列
9、的前n项和Tn.参考答案：（1）见解析；（2） 【分析】（1）首先利用向量共线可得，再利用即可求得通项；（2），再利用累加法求出.【详解】（1）证明：，共线，.，当时，又满足此式，.为常数，数列是首项为1，公差为的等差数列.（2），.【点睛】由数列的前项和求时，利用，注意验证与的式子能否统一，裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.19. （本题满分15分）已知抛物线，为抛物线的焦点， 为抛物线上的动点，过作抛物线准线的垂线，垂足为（1）若点与点的连线恰好过点，且，求抛物线方程；（2）设点在轴上，若要使总为锐角，求的取值范围参考答案：解（1
10、）由题意知：，为的中点， ，且点在抛物线上，代入得 所以抛物线方程为 5分（2）设，根据题意：为锐角且， 所以得对都成立令对都成立 9分（1）若，即时，只要使成立， 整理得：，且，所以 11分 （2）若，即，只要使成立，得 所以 13分由（1）（2）得的取值范围是且 15分20. （本小题满分12分） 在ABC中，,对边分别为，且（）求的值；（）若，且，求ABC的面积参考答案：解（），由正弦定理得，即， ， ， ， 6分（）由余弦定理得，而， ， ， 12分21. 如图，山顶有一座石塔，已知石塔的高度为.（）若以为观测点，在塔顶处测得地面上一点的俯角为，在塔底处测得处的俯角为，用表示山的高度；
11、（）若将观测点选在地面的直线上，其中是塔顶在地面上的射影. 已知石塔高度,当观测点在上满足时看的视角(即)最大，求山的高度. 参考答案：略22. 已知函数 （）若函数在区间（其中）上存在极值，求实数的取值范围；（）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（）求证参考答案：解：（）因为，则， 1分当时，；当时， 所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减， 所以函数在处取得极大值 2分 因为函数在区间（其中）上存在极值， 所以 解得 4分（）不等式，即为记所以 6分 令则， 在上单调递增，从而 故在上也单调递增，所以 8分（）由（）知：恒成立，即 令，则， 所以 叠加得： 10分则，所以 12分略
