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1、湖南省湘潭市建设路学校高二数学理摸底试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 点P的直角坐标为，则点P的极坐标为（ ）A. B. C. D. 参考答案：D【分析】根据点的直角坐标系求出，再由 ，即可求出，从而得到点P的极坐标。【详解】由于点P的直角坐标为，则，再由 ，可得：，所以点P的极坐标为；故答案选D【点睛】本题考查把点的直角坐标转化为极坐标的方法，属于基础题。2. 四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名相邻，但三名女生不能连排，则不同的排法数有()A3600 B3200 C3080 D2880参考答案：D
2、略3. 已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A4B3C2D1参考答案：A【考点】直线与平面垂直的性质；简单空间图形的三视图【分析】画出满足条件的四棱锥的直观图，可令棱锥PA矩形ABCD，进而可得可得PAB 和PAD都是直角三角形，再由由线面垂直的判定定理可得CB平面PAB，CD平面PAD，又得到了两个直角三角形PCB 和PCD，由此可得直角三角形的个数【解答】解：满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，画出满足条件的直观图如图四棱锥PABCD所示，不妨令PA矩形ABCD，PAAB，PAAD，PACB，PACD，故PAB 和PAD都是直角三角
3、形又矩形中 CBAB，CDAD这样CB垂直于平面PAB内的两条相交直线PA、AB，CD垂直于平面PAD内的两条相交直线 PA、AD，由线面垂直的判定定理可得CB平面PAB，CD平面PAD，CBPB，CDPD，故PCB 和PCD都是直角三角形故直角三角形有PAB、PAD、PBC、PCD共4个故选A4. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A63.6万元B65.5万元C67.7万元D72.0万元参考答案：B【考点】线性回归方程【分析】首先求出所给数据的平
4、均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果【解答】解：=3.5，=42，数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，42=9.43.5+a，=9.1，线性回归方程是y=9.4x+9.1，广告费用为6万元时销售额为9.46+9.1=65.5，故选：B5. 设若则有（ ）A B C D 参考答案：D6. 袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是（ ） （）取到球的个数 （）取到红球的个数 （）至少取到一个红球 （）至少取到一个红球的概率参考答案：B略7. 动点到点及点的距离之差为，则点的轨
5、迹是（ ）A 双曲线 B 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线参考答案：D略8. 设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：A分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解：绝对值不等式，由.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于A10B8 C4D6参考答案：D略10. 函数f（x）=ax（x2）2
6、（a0）有极大值，则a等于（）A1BC2D3参考答案：B【考点】函数在某点取得极值的条件【分析】利用导数分a0，a0两种情况求得f（x）的极大值，使其等于，解此方程即可求得a值【解答】解：f（x）=a（x2）（3x2），（1）当a0时，由f（x）0得x或x2；由f（x）0得x2，所以f（x）在（，），（2，+）上单调递增，在（，2）上单调递减；此时，当x=时f（x）取得极大值f（）=a（2）2=，解得a=；（2）当a0时，由f（x）0得x或x2；由f（x）0得x2，所以f（x）在（，），（2，+）上单调递减，在（，2）上单调递增；此时，当x=2时f（x）取得极大值f（2）=2a（22）2=，无
7、解；综上所述，所求a值为故选B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则的值是 参考答案：12. 的面积为，则边_.参考答案：2 略13. 曲线在点（0，f（0）处的切线方程为 参考答案：xy+2=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题【分析】把x=0代入曲线方程求出相应的y的值确定出切点坐标，然后根据求导法则求出曲线方程的导函数，把x=0代入求出的导函数值即为切线方程的斜率，由求出的切点坐标和斜率写出切线方程即可【解答】解：把x=0代入曲线方程得：f（0）=2，所以切点坐标为（0，2），求导得：f（x）=，把x=0代入导函数得：f（0）=1，所以切线方
8、程的斜率k=1，则切线方程为：y2=x0，即xy+2=0故答案为：xy+2=0【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点和斜率写出直线的方程，是一道基础题14. 已知时，则 参考答案：15. 已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|2，则|BF|_.参考答案：略16. 某商场根据连续5周的市场调研，对某商品的销售量x(千克)与价格y(元千克)统计数据(如表所示)表明：二者负相关，其回归方程为2x80，则统计表格中的实数a_.周次12345销售量x1819182223价格y4543a3533参考答案：44由表格数据知20，将其代入回归方程可示
9、得40，于是a44.17. 若双曲线=1（a0）的一条渐近线方程为y=2x，则a= 参考答案：1【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到a的值即可【解答】解：双曲线=1（a0）的一条渐近线方程为y=2x，可得：，解得a=1故答案为：1三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 提高过浑河大桥的车辆通行能力可改善整个沈城的交通状况在一般情况下，浑河大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数记作当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为6
10、0千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数（1）当时，求函数的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）参考答案：解：（1）由题意：当；当 再由已知得 -（4分） 故函数的表达式为-（6分）（2）依题意并由（）可得当为增函数，故当时，其最大值为6020=1200；当时，当且仅当，即时，等号成立所以，当在区间20，200上取得最大值综上，当时，在区间0，200上取得最大值即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时-（12分）19. 某商场为了促
11、销，采用购物打折的优惠办法：每位顾客一次购物：在1000元以上者按九五折优惠；在2000元以上者按九折优惠；在5000元以上者按八折优惠。(1）写出实际付款y（元）与购物原价款x（元）的函数关系式；(2）写出表示优惠付款的算法；参考答案：（1）设购物原价款数为元，实际付款为元，则实际付款方式可用分段函数表示为：(2）用条件语句表示表示为：20. （本小题满分12分）已知an是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上.()求数列an的通项公式；()若列数bn满足b1=1,bn+1=bn+，求证：bn bn+2b2n+1.参考答案：解法一：（）由已知得an+1=an+
12、1、即an+1-an=1，又a1=1,所以数列an是以1为首项，公差为1的等差数列.故an=1+(a-1)1=n.()由（）知：an=n从而bn+1-bn=2n.bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+-+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+2+1=2n-1.因为bnbn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)=-52n+42n=-2n0,所以bnbn+2b,解法二：（）同解法一.（）因为b2=1,bnbn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b =2n+1bn-1-2nb
13、n+1-2n2n+12n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n-2n+1）=2n（bn-2n）=2n（b1-2）=-2n0，所以bn-bn+2b2n+121. （12分）已知抛物线的项点在坐标原点，准线的方程为，点在准线上，纵坐标为，点在轴上，纵坐标为。（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，并求出圆的方程。参考答案：22. 已知函数，(1)若，证明：函数是(0,+)上的减函数；(2)若曲线在点处的切线不直线平行，求a的值；(3)若，证明：(其中是自然对数的底数)参考答案：（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.试题分析：(1)由题意二次求导可得，函数是上的减函数.(2)利用题意由导函数研究函数的切线得到关于a的方程，解方程可得.(3)原不等式等价于，结合(1)的结论构造函数，令，可证得试题解析：（1）当时，函数定义域是，所以，令，只需证：时，又，故在上为减函
